Волновое уравнение

[Alexey1]

Подскажите, почему во многих учебниках однородное волновое уравнение ($n=1$) приводится в форме
$u_{tt}-c^2u_{xx}=0, x \in R, t>0,$
$u(x,0)=f(x), x \in R,$
$u_t(x,0)=g(x), x \in R.$
На что влияет строгое неравенство $t>0$? Что меняется, если его заменить на нестрогое? В одной из книг прочитал, что если $t \geq 0$, то задача Коши является не правильно поставленной. Но не понятно почему.
В частности, если $f \in C^2(R), g \in C^1(R)$, то $u \in C^2(R \times [0,\infty))$ и уравнение выполняется для любых $x$, $t$.

[ewert]

Alexey1 в сообщении #304803 писал(а):

Что меняется, если его заменить на нестрогое?

Ничего не меняется. Это неравенство вообще не нужно -- волновое уравнение одинаково решается в обе стороны, и нулевой момент времени ничем не отличается от любого другого.

Возможно, автоты ставят это неравенство просто по привычке к уравнению теплопроводности -- там оно действительно по существу.

[Полосин]

Уравнение приводится в такой форме, потому что оно ставится в открытой области, а $t=0$ - это граница области.

[ewert]

Полосин в сообщении #304901 писал(а):

Уравнение приводится в такой форме, потому что оно ставится в открытой области, а $t=0$ - это граница области.

Это-то понятно, но: кто в силах запретить раздвинуть эту область?... (кроме свойств самого уравнения).

И, кстати, там непоследовательность. Если мы запрещаем себе вторые производные по времени на краю области, то по ровно тем же причинам обязаны запретить и первые. Т.е. начальные условия. Т.е., собственно -- саму задачу.

[Полосин]

Обычно задача сначала ставится, а затем решается. Общая постановка такова, что уравнение задается в открытой области, а на границе задаются следы искомой функции. Разумеется, в частных случаях, подобным рассмотренным выше, может оказаться, что решение продолжимо (с сохранением свойств - полностью или частично) за границу области, однако в общем случае этого утверждать нельзя.

[Alexey1]

Всем спасибо за ответы.

ewert в сообщении #304807 писал(а):

Alexey1 в сообщении #304803 писал(а):

Что меняется, если его заменить на нестрогое?

Ничего не меняется. Это неравенство вообще не нужно -- волновое уравнение одинаково решается в обе стороны, и нулевой момент времени ничем не отличается от любого другого.

Что следует из формулы Д'Аламбера, так?

ewert в сообщении #304807 писал(а):

Возможно, автоты ставят это неравенство просто по привычке к уравнению теплопроводности -- там оно действительно по существу.

Кстати, по уравнению теплопроводности.
$u_t=u_{xx}, x \in R, t>0$,
$u(x,0)=g(x), x \in R$.
Здесь $t>0$ важно, так как при выводе решения уравнения это условие необходимо для сходимости интеграла который необходимо вычислить для получения решения. В частности, если $g(x)$ ограничена и непрерывна на $R$, то $u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4 \pi t}} \int_R e^{-\frac{|x-y|^2}{4t}g(y)dy$ и имеет непрерывное продолжение до границы. Это так? Или есть ещё какая-то причина?

Полосин в сообщении #304988 писал(а):

Обычно задача сначала ставится, а затем решается. Общая постановка такова, что уравнение задается в открытой области, а на границе задаются следы искомой функции. Разумеется, в частных случаях, подобным рассмотренным выше, может оказаться, что решение продолжимо (с сохранением свойств - полностью или частично) за границу области, однако в общем случае этого утверждать нельзя.

То есть в общем без разницы выполняется ли уравнение на границе? Ну то есть как в уравнении теплопроводности, где решение не дифференцируемо на границе, так? И вообще если ставить задачу на закрытой области то это получается не грамотно?

[ewert]

Alexey1 в сообщении #305044 писал(а):

Кстати, по уравнению теплопроводности.
$u_t=u_{xx}, x \in R, t>0$,
$u(x,0)=g(x), x \in R$.
Здесь $t>0$ важно, так как при выводе решения уравнения это условие необходимо для сходимости интеграла который необходимо вычислить для получения решения.

Нет, дело не в сходимости какого-то там конкретного интеграла (хотя с какой-нибудь точки зрения, возможно, и так). Дело в том, что уравнение теплопроводности устроено таким образом, что решения мгновенно и бесконечно сглаживаются независимо от начального состояния -- в сторону положительных времён. И, соответственно, в сторону отрицательных времён -- далеко, далеко не всякое начальное состояние допустимо.

В случае же уравнения волнового характер гладкости решения не шибко-то зависит от времени. И формула Даламбера это если и не доказывает, то, во всяком случае, хорошо иллюстрирует.

[Alexey1]

ewert в сообщении #306108 писал(а):

Нет, дело не в сходимости какого-то там конкретного интеграла (хотя с какой-нибудь точки зрения, возможно, и так). Дело в том, что уравнение теплопроводности устроено таким образом, что решения мгновенно и бесконечно сглаживаются независимо от начального состояния -- в сторону положительных времён. И, соответственно, в сторону отрицательных времён -- далеко, далеко не всякое начальное состояние допустимо.

Спасибо за ответ. Ну например, у меня есть какое-то дифференциальное уравнение. Как мне определить, на какой области оно должно выполняться, открытой, закрытой или полуоткрытой? Из каких соображений исходить при постановке задачи? Я думал ответить на этот вопрос разобравшись с классическими уравнениями.

[ewert]

Alexey1 в сообщении #306125 писал(а):

Как мне определить, на какой области оно должно выполняться, открытой, закрытой или полуоткрытой? Из каких соображений исходить при постановке задачи?

Не знаю. Вообще говоря -- никак. Т.е. для каждого конкретного класса уравнений потребуются свои приёмы. Т.е. надо просто изучать теорию. Увы; многообразие уравнений в частных производных -- гораздо многообразнее, чем обыкновенных.

(там ведь ещё и с областью вечные проблемы -- насколько её граница гладка и т.д.)