помогите найти предел функции

[gris]

Перед 0 не надо ствить\
$\lim\limits_{x\to 0 }\left (\dfrac{\sin x}{x^2}\right )^{1/x^2} $

Надо логарифм попробовать?

[Uniqum]

$\lim\limits_{x\to 0 }\left (\dfrac{\sin x}{x^2}\right )^{1/x^2}= e^{lim\limits_{x\to 0 }\dfrac{\ln \dfrac{\sin x}{x^2}{x^2}}$

А дальше Лопиталь!

[gris]

Может синус заменить по эквивалентности?

[paha]

gris в сообщении #283430 писал(а):

$\lim\limits_{x\to 0 }\left (\dfrac{\sin x}{x^2}\right )^{1/x^2} $

Надо логарифм попробовать?

не надо... $\sin x\sim x$, $t=1/x$, и предел получится $\lim\limits_{t\to +\infty}t^{t^2}$

[zaqwedcvbgt]

А в каких случаях вообще нельзя заменять БМ эквивалентными?

[AD]

zaqwedcvbgt в сообщении #302267 писал(а):

А в каких случаях вообще нельзя заменять БМ эквивалентными?

Можно только тогда, когда Вы умеете доказывать, что можно.

[zaqwedcvbgt]

AD
Можно пример, где нельзя?

[AD]

zaqwedcvbgt в сообщении #302643 писал(а):

Можно пример, где нельзя?

$$e=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^x\neq\lim_{x\to\infty}1^x=1$$

[zaqwedcvbgt]

Вот такой предел и такое решение:
$$\lim \frac{{\root n \of {n!} }} {n} = \lim e^{\ln \root n \of {n!} - \ln n} = \lim \frac{{e^{\frac{1} {n}\ln n!} }} {{e^{\ln n} }} = \lim \frac{{e^{\frac{{\ln 1 + \ln 2 + .. + \ln n}} {n}} }} {{e^{\ln n} }} = \lim \frac{{e^{\ln n} }} {{e^{\ln n} }} = 1$ $
Это решение не правильное. Правильный ответ 1/е. (Правильное решение мне известно).
Здесь
$\lim \frac{{\ln 1 + \ln 2 + .. + \ln n}} {n} = \lim \ln n$ по теореме Штольца.

Можете объяснить почему так нельзя делать?
Спасибо!

[ИСН]

Один студент тоже всё время писал lim без указания, что и куда стремится. Как-то раз озверевший предел набросился на него и отгрыз ему правую руку.

[zaqwedcvbgt]

Когда предел по n, то понятно, что n стремится к бесконечности, нет?

[gris]

Разве применимо это, если последовательность в числителе неограниченно возрастает? По моему, так можно делать, если она имеет конечный предел, тогда и последовательность средних арифметических стремиться к этому пределу.

[ewert]

zaqwedcvbgt в сообщении #304908 писал(а):

Здесь
$\lim \frac{{\ln 1 + \ln 2 + .. + \ln n}} {n} = \lim \ln n$ по теореме Штольца.

Можете объяснить почему так нельзя делать?

Потому что во второй строчке оба предела равны бесконечности. Т.е. "формально это верно, а по существу -- издевательство" $\copyright$.

[zaqwedcvbgt]

Мне не понятно вот что.
Неочевидно, что

$$\lim \root n \of {n!} $$

стремится к бесконечности.

Сделав такое же преобразование:
$$\lim \root n \of {n!} = \lim e^{\ln \root n \of {n!} } = \lim e^{\frac{{\ln 1 + \ln 2 + .. + \ln n}} {n}} = \lim e^{\ln n} = \infty $ $
которое верно (по учебнику).

Т.е., в частности:

$$\lim \root n \of {n!} = \lim e^{\ln n} $$

- что значит это равенство, если его нельзя использовать в моем примере?

[ewert]

zaqwedcvbgt в сообщении #304995 писал(а):

- что значит это равенство, если его нельзя использовать в моем примере?

его можно использовать, только никакой пользы это не принесёт. Вы ж сами сказали, что тот предел равен бесконечности. А если в обеих сторонах равенства стоит бесконечность -- то никакой конкретной пользы из этого не извлечёшь.