2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: помогите найти предел функции
Сообщение25.01.2010, 16:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13909
Перед 0 не надо ствить\
$\lim\limits_{x\to 0 }\left (\dfrac{\sin x}{x^2}\right )^{1/x^2} $

Надо логарифм попробовать?

 Профиль  
                  
 
 Re: помогите найти предел функции
Сообщение30.01.2010, 00:48 


27/01/10
1
$\lim\limits_{x\to 0 }\left (\dfrac{\sin x}{x^2}\right )^{1/x^2}= e^{lim\limits_{x\to 0 }\dfrac{\ln \dfrac{\sin x}{x^2}{x^2}}$

А дальше Лопиталь!

 Профиль  
                  
 
 Re: помогите найти предел функции
Сообщение30.01.2010, 08:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13909
Может синус заменить по эквивалентности?

 Профиль  
                  
 
 Re: помогите найти предел функции
Сообщение22.03.2010, 01:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
gris в сообщении #283430 писал(а):
$\lim\limits_{x\to 0 }\left (\dfrac{\sin x}{x^2}\right )^{1/x^2} $

Надо логарифм попробовать?


не надо... $\sin x\sim x$, $t=1/x$, и предел получится $\lim\limits_{t\to +\infty}t^{t^2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: помогите найти предел функции
Сообщение25.03.2010, 16:25 


14/03/10
16
А в каких случаях вообще нельзя заменять БМ эквивалентными?

 Профиль  
                  
 
 Re: помогите найти предел функции
Сообщение26.03.2010, 08:57 
Экс-модератор


17/06/06
5004
zaqwedcvbgt в сообщении #302267 писал(а):
А в каких случаях вообще нельзя заменять БМ эквивалентными?
Можно только тогда, когда Вы умеете доказывать, что можно. :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: помогите найти предел функции
Сообщение26.03.2010, 13:32 


14/03/10
16
AD
Можно пример, где нельзя?

 Профиль  
                  
 
 Re: помогите найти предел функции
Сообщение31.03.2010, 08:35 
Экс-модератор


17/06/06
5004
zaqwedcvbgt в сообщении #302643 писал(а):
Можно пример, где нельзя?
$$e=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^x\neq\lim_{x\to\infty}1^x=1$$

 Профиль  
                  
 
 Re: помогите найти предел функции
Сообщение31.03.2010, 14:11 


14/03/10
16
Вот такой предел и такое решение:
$$\lim \frac{{\root n \of {n!} }}
{n} = \lim e^{\ln \root n \of {n!}  - \ln n}  = \lim \frac{{e^{\frac{1}
{n}\ln n!} }}
{{e^{\ln n} }} = \lim \frac{{e^{\frac{{\ln 1 + \ln 2 + .. + \ln n}}
{n}} }}
{{e^{\ln n} }} = \lim \frac{{e^{\ln n} }}
{{e^{\ln n} }} = 1$
$
Это решение не правильное. Правильный ответ 1/е. (Правильное решение мне известно).
Здесь
$\lim \frac{{\ln 1 + \ln 2 + .. + \ln n}}
{n} = \lim \ln n$ по теореме Штольца.

Можете объяснить почему так нельзя делать?
Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: помогите найти предел функции
Сообщение31.03.2010, 14:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13382
с Территории
Один студент тоже всё время писал lim без указания, что и куда стремится. Как-то раз озверевший предел набросился на него и отгрыз ему правую руку.

 Профиль  
                  
 
 Re: помогите найти предел функции
Сообщение31.03.2010, 14:21 


14/03/10
16
Когда предел по n, то понятно, что n стремится к бесконечности, нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: помогите найти предел функции
Сообщение31.03.2010, 14:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13909
Разве применимо это, если последовательность в числителе неограниченно возрастает? По моему, так можно делать, если она имеет конечный предел, тогда и последовательность средних арифметических стремиться к этому пределу.

 Профиль  
                  
 
 Re: помогите найти предел функции
Сообщение31.03.2010, 15:05 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
zaqwedcvbgt в сообщении #304908 писал(а):
Здесь
$\lim \frac{{\ln 1 + \ln 2 + .. + \ln n}}
{n} = \lim \ln n$ по теореме Штольца.

Можете объяснить почему так нельзя делать?

Потому что во второй строчке оба предела равны бесконечности. Т.е. "формально это верно, а по существу -- издевательство" $\copyright$.

 Профиль  
                  
 
 Re: помогите найти предел функции
Сообщение31.03.2010, 17:25 


14/03/10
16
Мне не понятно вот что.
Неочевидно, что
$$\lim \root n \of {n!} $$
стремится к бесконечности.

Сделав такое же преобразование:
$$\lim \root n \of {n!}  = \lim e^{\ln \root n \of {n!} }  = \lim e^{\frac{{\ln 1 + \ln 2 + .. + \ln n}}
{n}}  = \lim e^{\ln n}  = \infty $
$
которое верно (по учебнику).

Т.е., в частности:
$$\lim \root n \of {n!}  = \lim e^{\ln n} $$ - что значит это равенство, если его нельзя использовать в моем примере?

 Профиль  
                  
 
 Re: помогите найти предел функции
Сообщение31.03.2010, 17:42 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
zaqwedcvbgt в сообщении #304995 писал(а):
- что значит это равенство, если его нельзя использовать в моем примере?

его можно использовать, только никакой пользы это не принесёт. Вы ж сами сказали, что тот предел равен бесконечности. А если в обеих сторонах равенства стоит бесконечность -- то никакой конкретной пользы из этого не извлечёшь.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 52 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group