Триг. уравнение с двумя параметрами

[caxap]

Нужно решить уравнение $\dfrac{\tg ax}{\sin bx}=0$ при всех $a,b$.

Когда с одним параметром уравнение, ещё более менее возможно мыслить и перебирать разные случаи. Здесь не получается, вырываю какие-то частные решения только:

Если $a=0,b\ne 0$, то решением будет любое $x\ne 0$. Если $b=0$ или $x=0$, то решений нет.
Если $a=b$, то $1/\cos ax=0\iff x=\frac{\pi}{2a}+\frac{\pi k_1}{a}$, здесь и далее все $k_i\in\mathbb Z$.
Теперь решим $\tg ax=0\iff ax=\pi k_2$, при этом $bx\ne \pi k_3$. Как отобрать из первой серии вторую не знаю как.
Вроде бы интуитивно мыслю, что если $a/b\in\mathbb Z\setminus\{1,0\}$, то решений нет, т. к. серии совпадают.

И т.д. но это как бы я отрывочные значения $a,b$ беру. Нет ли какого нибудь способа, чтобы системно и методично обработать все пары $a,b$ и решить уравнения для них?

[Maslov]

caxap в сообщении #304587 писал(а):

Если $a=b$, то $1/\cos ax=0\iff x=\frac{\pi}{2a}+\frac{\pi k_1}{a}$, здесь и далее все $k_i\in\mathbb Z$.

Это Вы что сейчас написали?

[mitia87]

Сведите к системе:
$\left\{% \begin{array}{ll} \tg ax = 0\\ \sin bx \neq 0 \\ \end{array} \right.$

[caxap]

Maslov в сообщении #304591 писал(а):

Это Вы что сейчас написали?

Да, тут ошибка. Стыдно. Если $a=b$, то решений нет. Фактически это можно вписать в $a/b\in\mathbb Z\setminus\{0\}$ (убрав единицу). Но в целом, вопрос остаётся: каков оптимальный путь перебрать все пары параметров, чтобы ничего не зыбыть.

mitia87 в сообщении #304594 писал(а):

Сведите к системе:

Ну разумеется, уже свёл давно. Проблема в том как её решить.

[Maslov]

Я не очень понимаю, в чем проблема

$\left\{% \begin {array}{ll} a \neq 0 \\ b \neq 0 \\ \sin ax = 0 \\ \sin bx \neq 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{% \begin {array}{ll} a \neq 0 \\ b \neq 0 \\ x \in \{\frac {\pi k} a, k \in \mathrm Z\} \setminus \{ \frac {\pi k} b, k \in \mathrm Z\}\\ \end{array} \right. $

Почему так нельзя?

[caxap]

Maslov
$a$ вовсе не обязано $\ne 0$.

И ответ такой (это задача из Кванта 1970, №12, стр. 49):
Если $b=0$, $a$ любое: решений нет.
Если $a=0$: решением будут все $x$, кроме $\frac{\pi n}{b}$, $n\in\mathbb Z$.
Если $a,b\ne 0$: $x=\frac{\pi k}{a}$, где $k$ -- целое, кроме $\frac{ma}b$, $m\in \mathbb Z$.

Первые два случая понятны. А вот как дойти до третьего?

[Maslov]

caxap в сообщении #304658 писал(а):

Maslov
$a$ вовсе не обязано $\ne 0$.

Да, Вы правы -- я ошибся.

caxap в сообщении #304658 писал(а):

А вот как дойти до третьего?

На мой взгляд, это и есть решение
$x \in \{\frac {\pi k} a, k \in \mathrm Z\} \setminus \{ \frac {\pi m} b, m \in \mathrm Z\} $

Другими словами, из точек вида $x = \frac {\pi k} a$ мы выкидываем точки вида $\frac {\pi m} b$, т.е. точки, удовлетворяющие условию:
$\frac {\pi k} a} = \frac {\pi m} b \Leftrightarrow k = \frac {m a} b (a \neq 0, b \neq 0)$.

[caxap]

Спасибо. Понял :)