2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Триг. уравнение с двумя параметрами
Сообщение30.03.2010, 18:33 
Аватара пользователя
Нужно решить уравнение $\dfrac{\tg ax}{\sin bx}=0$ при всех $a,b$.

Когда с одним параметром уравнение, ещё более менее возможно мыслить и перебирать разные случаи. Здесь не получается, вырываю какие-то частные решения только:

Если $a=0,b\ne 0$, то решением будет любое $x\ne 0$. Если $b=0$ или $x=0$, то решений нет.
Если $a=b$, то $1/\cos ax=0\iff x=\frac{\pi}{2a}+\frac{\pi k_1}{a}$, здесь и далее все $k_i\in\mathbb Z$.
Теперь решим $\tg ax=0\iff ax=\pi k_2$, при этом $bx\ne \pi k_3$. Как отобрать из первой серии вторую не знаю как.
Вроде бы интуитивно мыслю, что если $a/b\in\mathbb Z\setminus\{1,0\}$, то решений нет, т. к. серии совпадают.

И т.д. но это как бы я отрывочные значения $a,b$ беру. Нет ли какого нибудь способа, чтобы системно и методично обработать все пары $a,b$ и решить уравнения для них?

 
 
 
 Re: Триг. уравнение с двумя параметрами
Сообщение30.03.2010, 18:38 
caxap в сообщении #304587 писал(а):
Если $a=b$, то $1/\cos ax=0\iff x=\frac{\pi}{2a}+\frac{\pi k_1}{a}$, здесь и далее все $k_i\in\mathbb Z$.

Это Вы что сейчас написали?

 
 
 
 Re: Триг. уравнение с двумя параметрами
Сообщение30.03.2010, 18:46 
Сведите к системе:
$\left\{%
\begin{array}{ll}
    \tg ax = 0\\
    \sin bx \neq 0 \\
\end{array}
\right.$

 
 
 
 Re: Триг. уравнение с двумя параметрами
Сообщение30.03.2010, 19:08 
Аватара пользователя
Maslov в сообщении #304591 писал(а):
Это Вы что сейчас написали?

Да, тут ошибка. Стыдно. Если $a=b$, то решений нет. Фактически это можно вписать в $a/b\in\mathbb Z\setminus\{0\}$ (убрав единицу). Но в целом, вопрос остаётся: каков оптимальный путь перебрать все пары параметров, чтобы ничего не зыбыть.
mitia87 в сообщении #304594 писал(а):
Сведите к системе:

Ну разумеется, уже свёл давно. Проблема в том как её решить.

 
 
 
 Re: Триг. уравнение с двумя параметрами
Сообщение30.03.2010, 20:14 
Я не очень понимаю, в чем проблема

$\left\{%
\begin {array}{ll}
a \neq 0 \\
b \neq 0 \\
\sin ax = 0 \\
\sin bx \neq 0 \\
\end{array}
\right.
\Leftrightarrow
\left\{%
\begin {array}{ll}
a \neq 0 \\
b \neq 0 \\
x \in \{\frac {\pi k} a, k \in \mathrm Z\} \setminus \{ \frac {\pi k} b, k \in \mathrm Z\}\\
\end{array}
\right.
$

Почему так нельзя?

 
 
 
 Re: Триг. уравнение с двумя параметрами
Сообщение30.03.2010, 20:54 
Аватара пользователя
Maslov
$a$ вовсе не обязано $\ne 0$.

И ответ такой (это задача из Кванта 1970, №12, стр. 49):
Если $b=0$, $a$ любое: решений нет.
Если $a=0$: решением будут все $x$, кроме $\frac{\pi n}{b}$, $n\in\mathbb Z$.
Если $a,b\ne 0$: $x=\frac{\pi k}{a}$, где $k$ -- целое, кроме $\frac{ma}b$, $m\in \mathbb Z$.

Первые два случая понятны. А вот как дойти до третьего?

 
 
 
 Re: Триг. уравнение с двумя параметрами
Сообщение30.03.2010, 21:12 
caxap в сообщении #304658 писал(а):
Maslov
$a$ вовсе не обязано $\ne 0$.
Да, Вы правы -- я ошибся.

caxap в сообщении #304658 писал(а):
А вот как дойти до третьего?
На мой взгляд, это и есть решение
$x \in \{\frac {\pi k} a, k \in \mathrm Z\} \setminus \{ \frac {\pi m} b, m \in \mathrm Z\} $

Другими словами, из точек вида $x = \frac {\pi k} a$ мы выкидываем точки вида $\frac {\pi m} b$, т.е. точки, удовлетворяющие условию:
$\frac {\pi k} a} = \frac {\pi m} b \Leftrightarrow k = \frac {m a} b  (a \neq 0, b \neq 0)$.

 
 
 
 Re: Триг. уравнение с двумя параметрами
Сообщение30.03.2010, 21:14 
Аватара пользователя
Спасибо. Понял :)

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group