Механика (период малых колебаний)

[Legioner93]

Вступительный экзамен в МФТИ (Билет 12, 1996)

С первым все понятно.
Мое решение второго вопроса:
Направим ось $OX$ вертикально вверх. Пусть $L_1$ и $L_2$ - начальные удлинения пружин. Тогда можно записать, что $F_1=-k_1(x+L_1)$,$F_2=-k_2(x-L_2)$. Запишем правило моментов относительно точки крепления стержня к стене ($l$ - длина стержня): $3mla_x=2lF_2+lF_1$, $3ma_x=-2k_2(x-L_2)-k_1(x+L_1)$, $x^{''}=-x(\frac{2k_2+k_1}{3m})+\frac{2k_2L_2-k_1L_1}{3m}$, $x^{''}=-px+q$,

$x=x_msin(x_0+\sqrt{p}x)+\frac{q}{p}$ Это уравнение гармонических колебаний, период $T=\frac{2\pi}{\sqrt{p}}=2\pi\sqrt{\frac{3m}{k_1+2k_2}}$. Но в ответах указано немного другое выражение. Прошу помочь разобраться, спасибо.
P.S. "Правило моментов", которое я записал, правильно называется "Теорема Вариньона"? В школе мы использовали правило моментов только для статичных тел ($a=0$). Интуитивно я предположил, что равенство верно и для движущейся системы. Верно ли я сделал? Спасибо:)

[ewert]

Legioner93 в сообщении #304276 писал(а):

Верно ли я сделал?

Идея правильная, но. Вы не заметили, что смещения концов пружин не равны смещению шарика, а лишь пропорциональны ему. Надо так: $3l\cdot ma=-2l\cdot k_2x_2-l\cdot k_1x_1$. Т.е. $3l\cdot ma=-2l\cdot k_2\cdot{2\over3}x-l\cdot k_1\cdot{1\over3}x$.

(Это закон изменения момента импульса. В правой части стоит суммарный момент сил, в левой -- скорость изменения момента импульса: $3l\cdot ma=(3l\cdot mv)'_t$.)

Здесь имелось в виду, что икс -- это смещение шарика от положения равновесия. Тогда начальные растяжения $L_1$ и $L_2$ учитывать, естественно, не надо -- они обязаны сократиться: $2l\cdot k_2L_2-l\cdot k_1L_1=0$. Это просто условие равновесия.

(Да, и на всякий случай: $l$ -- это всё-таки не длина, а треть длины. Хоть в ответы она и не входит.)

[Legioner93]

Да, точно, спасибо! Смещения относительно положения равновесия шарика, точек крепления второй и первой пружины относятся как $3:2:1$!
Тогда новые выражения для сил примут вид: $F_1=-k_1(\frac{x}{3}+L_1)$, $F_2=-k_2(\frac{2x}{3}-L_2)$. Подставляя эти выражения в $3lma_x=2lF_2+lF_1$ (где $l$, конечно же, треть длины ), получаем $x^{''}=-x(\frac{4k_2+k_1}{9m})$, откуда $T=6\pi\sqrt{\frac{m}{4k_2+k_1}}$

ewert в сообщении #304326 писал(а):

Тогда начальные растяжения $L_1$ и $L_2$ учитывать, естественно, не надо -- они обязаны сократиться: $2l\cdot k_2L_2-l\cdot k_1L_1=0$. Это просто условие равновесия.

Да, а даже если бы не сократились, то все равно не повлияли бы на период, поэтому я даже не смотрел, что там во вторых скобках, просто буквой q обозначил

[ewert]

Legioner93 в сообщении #304534 писал(а):

, то все равно не повлияли бы на период,

Это грамотно.

Legioner93 в сообщении #304534 писал(а):

(где $l$, конечно же, треть длины )

Вот Вы хихикаете, а на экзамене, между прочим, запросто к этому могут придраться. Как бы ни было это глупо. ТщательнЕе надо.