Представление чисел в виде (2^a-1)(2^b-1)/((2^c-1)(2^d-1))

[Руст]

Этот вопрос особого смысла не имеет. Пусть

$$K_l=\{n|n=\prod_{i=1}^l \frac{2^{a_i}-1}{2^{b_i}-1}\} , K_{\infty } =U_{l=1}^{\infty} K_l.$$

Пусть $S_p=\{1<n<2^p-1| \ n|2^p-1\}$ множество собственных делителей не простого числа Мерсена. Тогда это множество не пересекается даже с $K_{\infty }$. А минимальное такое число 23. Т.е. 23 является и минимальным числом не принадлежащим не только $K_4,K_5,...$ но и $K_{\infty }.$

[OZH]

\hbox{Простите, а что у Вас там попадается за обозначение $n|2^{p}-1$? Я, малость, {\it не догоняю\/}. И что такое {\it числа Мерсена\/}?}

[XpeH]

Палочка в теории чисел означает что число ПЕРЕД палочкой делит число ЗА палочкой нацело. А простое число Мерсена, если я ниче не путаю, это простое число представимое в виде 2^k-1 где k тоже простое.

[Someone]

Число Мерсенна - это число вида $2^k-1$ ($k$ - натуральное).

[Руст]

У разных авторов разное. Я имел в виду под числом Мерсена $M_p=2^p-1$, где р простое число, некоторые под этим понимают только случай, когда результат получается простым, которых я назвал простым числом Мерсена. Более широкое толкование, как у Someone, встречается по-видимому очень редко.
В случае чисел Ферма

$$F_n=2^{2^n}+1$$

, n произвольное неотрицательное целое число (иногда даже n равно - бесконечность) такое широкое понимание повсеместно.

[juna]

Руст писал(а):

Этот вопрос особого смысла не имеет. Пусть

$$K_l=\{n|n=\prod_{i=1}^l \frac{2^{a_i}-1}{2^{b_i}-1}\} , K_{\infty } =U_{l=1}^{\infty} K_l.$$

Пусть $S_p=\{1<n<2^p-1| \ n|2^p-1\}$ множество собственных делителей не простого числа Мерсена. Тогда это множество не пересекается даже с $K_{\infty }$. А минимальное такое число 23. Т.е. 23 является и минимальным числом не принадлежащим не только $K_4,K_5,...$ но и $K_{\infty }.$

Да. Я невнимательно прочитал Ваше предыдущее сообщение. Действительно, если $2^p-1=ab$, то мы не сможет отделить $a$ от $b$, т.к. не сможем разложить $2^p-1=(2^{\frac p2}-1)(2^{\frac p2}+1)$, здесь мы можем использовать только представление $2^{kp}-1,k=1,2,3..$, в котором $a,b$ всегда вместе.

[Someone]

Руст писал(а):

У разных авторов разное. Я имел в виду под числом Мерсена $M_p=2^p-1$, где р простое число, некоторые под этим понимают только случай, когда результат получается простым, которых я назвал простым числом Мерсена. Более широкое толкование, как у Someone, встречается по-видимому очень редко.

Да, я тоже встречал разные определения.

1) В.Серпинский. Что мы знаем и чего не знаем о простых числах. "Государственное издательство физико-математической литературы". Москва, Ленинград, 1963.

Здесь число Мерсенна определяется так, как я написал: число вида $2^n-1$, где $n$ - натуральное.

2) Математическая энциклопедия. "Советская энциклопедия". Москва, 1982.

Число Мерсенна определяется как простое число вида $2^n-1$, где $n$ - натуральное.

3) Сайт http://primes.utm.edu/, посвящённый простым числам, определяет число Мерсенна так же, как В.Серпинский, но в скобках замечает, что многие авторы требуют, чтобы число $n$ в этом определении было простым (http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=MersenneNumber).

[Руст]

Числа Мерсена и числа Ферма появились в ходе исследования чисел на простоту. Рассматривая числа вида $x^n-y^n$, имеющие всегда делитель х-у, в первом случае рассматривали числа вида $\frac{x^n-y^n}{x-y},x>y$. Так как в случае, когда n не простое, это число всегда составное, при исследовании на простоту, достаточно рассмотреть n простое, а х и у взаимно простые, что дает обобщённые числа Мерсена (он ограничивался только случаем х=2, у=1).
Исходя из чисел вида: $x^k+y^k$, который всегда имеет делители, если k имеет нечётный делитель пришли к рассмотрению чисел вида

$$x^{2^n}+y^{2^n}$$

, которые при взаимно простых х и у могут дать простые числа являются обобщёнными числами Ферма. Поэтому, я придерживаюсь именно такого понимания.