Функции двух переменных. Необычное задание

[integral2009]

все понял наибольшее значение в точке $(5;-2)$ $z=20$

-- Пн мар 29, 2010 20:56:23 --

То есть с интервалом в $2$?
Осталось посчитать градиент в точке и нарисовать линии уровня, и всё?

-- Пн мар 29, 2010 21:20:52 --

-- Вс мар 28, 2010 22:58:57 --

1) С l_1 все хорошо, она дает стационарную точку (2,0)

l_2

2)
$f_1'(x)=0$ => $\dfrac{17}{2}x-24=0$ => $x_1=\dfrac{48}{17}$

$x_1$ лежит вне области $D$

-- Пн мар 29, 2010 21:23:18 --

Сейчас оформлю по-человечески свои результаты, чтобы "можно было прочитать и легко понять!!!

-- Пн мар 29, 2010 21:53:19 --

В четырехугольнике с вершинами

$(2;1)$
$(4;2)$
$(5;-2)$
$(2;-1)$

задана функция двух переменных $f(z)=4x^2+y^2-24x+36=4(x^2-6x+9)+y^2=4(x-3)^2+y^2$



1) l_1 $x=2$ ; $-1 \le y \le 1$

$\left.\ z \right|_{l_2}=\left.\ z \right|_{y=\frac{x}{2}}=4x^2+\dfrac{x^2}{4}-24x+36=f_1(x)$

$f_1'(x)=0$ => $\dfrac{17}{2}x-24=0$ => $x_1=\dfrac{48}{17} \approx 2,82$
$y_1=\dfrac{24}{17}=1,41$

$f_1''(x_1)=\dfrac{17}{2}$ => $(x_1,y_1)$ - минимум на границе $l_1$

$f(x_1,y_1)=4(\dfrac{17}{2}-3)^2+(\dfrac{24}{17})^2=\dfrac{36}{17} \approx 2,12$

[integral2009]

-- Пн мар 29, 2010 22:10:43 --

Сейчас оформлю по-человечески свои результаты, чтобы "можно было прочитать и легко понять!!!

-- Пн мар 29, 2010 21:53:19 --

В четырехугольнике с вершинами

$(2;1)$
$(4;2)$
$(5;-2)$
$(2;-1)$

задана функция двух переменных $f(z)=4x^2+y^2-24x+36=4(x^2-6x+9)+y^2=4(x-3)^2+y^2$



1) l_1 $x=2$ ; $-1 \le y \le 1$


$\left.\ z \right|_{l_1}=\left.\ z \right|_{x=2}=4\cdot 2^2+y^2-24\cdot 2+36=4+y^2=f_1(x)$[/math]

$f_1'(x)=0$ => $2y=0$ => $(2,0)$ стационарная точка

$f_1''(2)=2$ => $(2,0)$ - минимум

$z(2,0)=4$
================================================
2)l_2

$\left.\ z \right|_{l_2}=\left.\ z \right|_{y=\frac{x}{2}}=4x^2+\dfrac{x^2}{4}-24x+36=f_1(x)$

$f_2'(x)=0$ => $\dfrac{17}{2}x_2-24=0$ => $x_2=\dfrac{48}{17} \approx 2,82$
$y_2=\dfrac{24}{17}=1,41$

$f_2''(x_2)=\dfrac{17}{2}$ => $(x_2,y_2)$ - минимум на границе $l_2$

$z(x_2,y_2)=4(\dfrac{17}{2}-3)^2+(\dfrac{24}{17})^2=\dfrac{36}{17} \approx 2,12$

=====================================

-- Пн мар 29, 2010 22:22:12 --

3) l_3

$$\left.\ z \right|_{l_3}=\left.\ z \right|_{y=-2x+8}=z=4x^2+(-2x+8)^2-24x+36=8x^2-32x-24x+100=8x^2-56x+100=f_3(x)$

$f_3'(x)=0$ => $16x-56=0$ => $x=\dfrac{56}{16}=3,5$

$(3,5;1)$ -третья стационарная точка

$f_3''(3,5)=14$ => $(3,5;1)$ - минимум
======================================
4)l_4

$$\left.\ z \right|_{l_4}=\left.\ z \right|_{y=-\frac{x}{3}-\frac{1}{3}}=z=4x^2+\dfrac{1}{9}(x+1)^2-24x+36=8x^2-\dfrac{1}{9}x^2+\dfrac{2x}{9}+\dfrac{1}9-24x+36=f_4(x)$

$f_4'(x)=0$ => $8x+\dfrac{2}{9}x+\dfrac{2}{9}-24=\dfrac{74}{9}x-\dfrac{214}{9}$ =>$x_4=\dfrac{216}{74}=2,89(189)$

$y_4=-\dfrac{1}{3}(\dfrac{216}{74}+1)=-\dfrac{145}{111}$

$z(x_4,y_4)=13,25$

-- Пн мар 29, 2010 22:40:00 --

$$\begin{cases} \frac{\partial z}{\partial x}=8x-24\\ \frac{\partial z}{\partial x}=2y\\ \end{cases}$$

$$\begin{cases} \frac{\partial z}{\partial x}(x_0,y_0)=8x_0-24=0\\ \frac{\partial z}{\partial x}(x_0,y_0)=2y_0=0\\ \end{cases}$$

=> $(x_0,y_0)=(3,0)$ - минимум $(D>0, A>0)$

-- Пн мар 29, 2010 22:48:05 --

$z(3,0)=0$

$z(2,0)=4$

$z(17/2,36/17)=2,82$

$z(3,5;1)=13,25$

$z(x_4,y_4)=1,77$

$z(2,1)=5$

$z(4,2)=8$

$z(5,-2)=20$

$z(2,-1)=5$

[integral2009]

$z(3,0)=0$ наименьшее значение


$z(5,-2)=20$ - наибольшее значение

-- Вт мар 30, 2010 06:07:35 --

Направление наискорейшего возрастания функции:

$\vec \nabla z (4;1)=\dfrac{\partial z}{\partial x}(4,1)\cdot \vec i+\dfrac{\partial z}{\partial y}(4;1)\cdot \vec j=(8\cdot 4-24)\cdot \vec i+2\cdot 1\cdot \vec j=8\vec i+2\vec j$

-- Вт мар 30, 2010 06:28:27 --

Линии уровня. Из рисунка видно, что линия $z=22$ не входит в заданную область