Про пространство l_1

[fish-ka]

Решаю 2 задачи:

1)в банаховом пространстве $l^1$ покоординатная операция умножения определяет структуру коммутативной банаховой алгебры без 1.

2)спектр алгебры $l^1$ гомеоморфен пространству N с дискретной топологией.

попытки: ясно, что $l^1$ с введенной операцией - действительно коммутативная банахова алгебра. Допустим, что она унитальна. Тогда верна теорема о том, что \sigma(\xi)=\hat\xi(\Omega), где $\sigma(\xi)$ - спектр элемента $\xi$, $\hat\xi(\Omega)$ - преобразование Гельфанда. Или:
$\lambda\in\sigma(\xi)\Leftrightarrow \lambda-\xi$ необратим $\Leftrightarrow $ существует $\omega\in\Omega$ такой что $ (\lambda-\xi)\in ker\omega \Leftrightarrow \lambda=\omega(\xi)=\hat\xi(\omega)\in \hat\xi(\Omega)$

Получается, что действительно унитальна. Значит, ошибка.

по поводу второй задачи никак не получается придумать такое отображение. Помогите, пожалуйста.

[ewert]

fish-ka в сообщении #303776 писал(а):

Допустим, что она унитальна. Тогда верна теорема о том, что

Я в этом не разбираюсь, но: если предположить, что в ней есть единица, то -- что это непременно за последовательность??!

[Хорхе]

А что такое спектр банаховой алгебры? Я знаю, что такое спектр элемента, да и то для унитальных алгебр.

[fish-ka]

Хорхе в сообщении #303903 писал(а):

А что такое спектр банаховой алгебры?

Если А - коммутативная банахова алгебра, то множество $\Omega(A)$, снабженное *-слабой топологией есть спектр алгебры. $\Omega(A)$ - множество всех ненулевых гомоморфизмов, действующих в С

Вообще тут можно посмотреть:
http://kolxo3.tiera.ru/M_Mathematics/MC ... 6s%29.djvu

В рассуждениях использована теорема 1.3.6 стр.28

-- Пн мар 29, 2010 13:48:46 --

ewert в сообщении #303841 писал(а):

fish-ka в сообщении #303776 писал(а):

Допустим, что она унитальна. Тогда верна теорема о том, что

Я в этом не разбираюсь, но: если предположить, что в ней есть единица, то -- что это непременно за последовательность??!

Если честно, не понятен вопрос. Да, если есть единица, то это какая то последовательность, сходящаяся по модулю. При этом покоординатное умножение на нее справа и слева дает тот же элемент. Если Вы о том, то как она должна выглядеть, то мне это тоже не ясно. А точнее, мне ясно, что такой нет, что и пытаюсь доказать.

[paha]

присоединяем единицу, т.е. рассматриваем алгебру, образованную элементами вида $ae+\xi$,($\xi=\{\xi_n\}_{n\ge 1}$ -- $l_1$-последовательность).

Простая выкладка: $(ae+\xi)^{-1}=e/a+\tau$, где $\tau_n=-\frac{\xi_n}{a(a+\xi_n)}$. Таким образом элемент $ae+\xi$ обратим если и только если $a\not\in \{0,-\xi_1,-\xi_2,\ldots\}$.

Таким образом каждый необратимый элемент принадлежит идеалу вида

$$ J_n=\{ae+\xi:a+\xi_n=0\}. $$

и $J_0=\{0e+\xi\}$.
Соответствующий гомоморфизм в ${\mathbb C}$ имеет вид
$\psi_n(ae+\xi)=a+\xi_n$, $\psi_0(ae+\xi)=a$.
Ядро этого гомоморизма совпадает с $J_n$, что влечет максимальность идеала $J_n$.

осталось топологию на множестве максимальных идеалов ввести

-- Пн мар 29, 2010 14:23:05 --

да... Конечно, у банахова кольца с единицей спектр компактен, а у кольца без единицы - нет

Связь между спектром исходного кольца и кольца с присоединенной единицей описана на стр. 236 в книжке Наймарка (2 изд.)

-- Пн мар 29, 2010 14:44:16 --

а можно и без Наймарка:)
вот, тут все сказано

fish-ka в сообщении #303969 писал(а):

Если А - коммутативная банахова алгебра, то множество $\Omega(A)$, снабженное *-слабой топологией есть спектр алгебры. $\Omega(A)$ - множество всех ненулевых гомоморфизмов, действующих в С

осталось только заклинание написать: $\forall k,l\ne 0(k\ne l)\, \exists\varepsilon>0,\xi\in l_1:\quad |\xi_k-\xi_l|>\varepsilon$ откуда следует дискретность спектра

[ewert]

fish-ka в сообщении #303969 писал(а):

А точнее, мне ясно, что такой нет, что и пытаюсь доказать.

А звчем пытаться?... Это могла бы быть только тождественно единичная последовательность. Но она не входит в $l_1$.

[fish-ka]

То есть Вы имеете в виду, допустим, что есть элемент, который при умножении на любой другой элемент даст его же самого, тогда этот элемент - единичная последовательность?
Наверное, Вы правы. Только тут поосторожнее надо, ведь какой то элемент последовательности, на которую умножаем, может быть и нулевым, а оттуда не будет следовать, что соответствующий элемент "единицы" - 1.

[AD]

fish-ka в сообщении #306660 писал(а):

Только тут поосторожнее надо, ведь какой то элемент последовательности, на которую умножаем, может быть и нулевым

Это не важно. Важно, что может не быть нулевым. Чтобы опровергнуть утверждение "$\forall y$ $xy=yx=x$", достаточно одного контрпримера.

[fish-ka]

Ясно. Спасибо.