Функции двух переменных. Необычное задание

[integral2009]

В четырехугольнике с вершинами

$(2;1)$
$(4;2)$
$(5;-2)$
$(2;-1)$

задана функция двух переменных $f(z)=4x^2+y^2-24x+36$

1) Написать уравнения линий уровня и построить их

Как я понял - линии уровня - это линии вдоль которых $f(z)=const$

Но как их найти?

2) Найти стационарные точки проверить в них наличие экстремумов (это ясно как делать)

3) Найти наибольшее и наименьшее значение значение функции в заданной области. (это ясно как делать)

4) Определить направление наибыстрейшего роста функции в точке $(4;1)$. Тут нужно градиент функции в данной точке посчитать?

5) Проиллюстрировать решение задачи графически! Это построить четырехугольник нужно и все? Или что еще?

[ИСН]

2, 3 - ясно, 4 - да, на 5 ответом является п.1, а как их строить - ну а как вообще графики (неявных) функций строят? Вот так и строить.
Допустим, было бы написано: $x^2+y^2=1$. Знаете, что это?

[integral2009]

ИСН в сообщении #303709 писал(а):

2, 3 - ясно, 4 - да, на 5 ответом является п.1, а как их строить - ну а как вообще графики (неявных) функций строят? Вот так и строить.
Допустим, было бы написано: $x^2+y^2=1$. Знаете, что это?

Спасибо!

$x^2+y^2=1$ - это окружность!

[ИСН]

Так. А в Вашем случае? Вот эти $f(z)=const$ - это что за кривые?

[integral2009]

Т.е. Пункт один нужно так?

(Оффтоп)

$(2;1)$
$(4;2)$
$(5;-2)$
$(2;-1)$

Т.е. нужно построить уравнения сторон?

Уравнение линии, проходящей через точки

$(2,1)$ и $(4,2)$

$\dfrac{x-2}{1-2}=\dfrac{y-4}{2-4}$

-- Вс мар 28, 2010 20:38:42 --

$f(z)=4x^2+y^2-24x+36$

$f(z)=4(x^2-6x+9)-36+y^2+36=4(x-3)^2+y^2$

Если $f(z)=const$, тогда фигура выходит - эллипс, правильно?)

-- Вс мар 28, 2010 20:43:02 --

А сколько линий уровня нужно построить? т.е. как я понимаю, нужно взять конкретные константы и построить графики, да?

[ИСН]

Наибольшее и наименьшее значение нашли? Ну вот между ними, на равных интервалах, штук 5-10, сколько не лень...

[integral2009]

Спасибо! Сейчас ищу наибольшее и наименьшее значение)

P.S.
Странное задание...Чтобы сделать первый пункт - нужно сделать 3 сначала!

-- Вс мар 28, 2010 21:38:25 --

Оказалось, не очень понятно, как найти наибольшее и наименьшее значение функции.
Я нашел стационарную точку $(3,0)$ из условия равенства нулю частных производных.
Теперь нужно искать нужно искать стационарные точки на границах области (в угловых точках посчитать отдельно) И выбрать среди этих значений - наибольшее и наименьшее. Вопрос состоит в том - как искать стационарные точки вдоль границы?

-- Вс мар 28, 2010 22:01:25 --

А все, понял!!!!!

[integral2009]

Такие корявые числа получились.... Может я что-то не то делаю?)

[ИСН]

Какие и как?

[integral2009]

Картинка!

$z=f(x,y)=4x^2+y^2-24x+36$

-- Вс мар 28, 2010 22:46:01 --

l_1
l_2
l_3
l_4

-- Вс мар 28, 2010 22:58:57 --

1) С l_1 все хорошо, она дает стационарную точку (2,0)

l_2

2)
$\left.\ z \right|_{l_2}=\left.\ z \right|_{y=\frac{x}{2}}=4x^2+\dfrac{x^2}{4}-24x+36=f_1(x)$

$f_1'(x)=0$ => $\dfrac{17}{2}x-24=0$ => $x=\dfrac{48}{17}$

Вторая стационарная точка $(\dfrac{48}{17};\dfrac{24}{17})$

3)

-- Вс мар 28, 2010 23:04:36 --

Составим уравнение прямой, проходящей, через точки $(2;4)$ и $(5;-2)$

$\dfrac{x-2}{5-2}=\dfrac{y-4}{-2-4}$

$\dfrac{x-2}{3}=\dfrac{y-4}{-6}$

$-2(x-2)=y-4$

=> $y-4=-2x+4$

$y=-2x+8$

-- Вс мар 28, 2010 23:10:35 --

l_3

$$\left.\ z \right|_{l_3}=\left.\ z \right|_{y=-2x+8}=z=4x^2+(-2x+8)^2-24x+36=8x^2-32x-24x+100=8x^2-56x+100=f_3(x)$

$f_3'(x)=0$ => $16x-56=0$ => $x=\dfrac{56}{16}=3,5$

$(3,5;1)$ -третья стационарная точка

-- Вс мар 28, 2010 23:26:09 --

4)
l_4

Составим уравнение прямой, проходящей, через точки $(2;-1))$ и $(5;-2)$

$\dfrac{x-2}{5-2}=\dfrac{y+1}{-2+1}$

$\dfrac{x-2}{3}=\dfrac{y+1}{-1}$

$\dfrac{2}{3}-\dfrac{x}{3}-1=y$

$y=-\dfrac{x}{3}-\dfrac{1}{3}$

[integral2009]

$$\left.\ z \right|_{l_4}=\left.\ z \right|_{y=-\frac{x}{3}-\frac{1}{3}}=z=4x^2+\dfrac{1}{9}(x+1)^2-24x+36=8x^2-\dfrac{1}{9}x^2+\dfrac{2x}{9}+\dfrac{1}9-24x+36=f_4(x)$

$f_4'(x)=0$[/math] => $8x+\dfrac{2}{9}x+\dfrac{2}{9}-24=\dfrac{74}{9}x-\dfrac{214}{9}$ =>$x_4=\dfrac{216}{74}=2,89(189)$

$y_4=-\dfrac{1}{3}(\dfrac{216}{74}+1)$

Какие-то невеселы числа, особенно в конце

[integral2009]

А как проверить наличие экстремумов в стационарных точках? Для этого должны быть выполнены достаточные условия наличия локального экстремума?

-- Пн мар 29, 2010 02:43:25 --

Чуть ошибся
2)
$\left.\ z \right|_{l_2}=\left.\ z \right|_{y=\frac{x}{2}}=4x^2+\dfrac{x^2}{4}-24x+36=f_1(x)$

$f_1'(x)=0$ => $\dfrac{17}{4}x-24=0$ => $x=\dfrac{96}{17}$

Вторая стационарная точка $(\dfrac{96}{17};\dfrac{96}{34})$

-- Пн мар 29, 2010 03:14:59 --

Вообщем, я исправил арифметические ошибки, которые у меня тут есть

Наибольшее значение $f(x,y)=36,(1)$
Наименьшее значение $f(x,y)=0$

[ИСН]

Ад какой-то. Где у Вас максимум? Должен быть вон в том углу.

[integral2009]

оО В том - это в точке $(5,-2)$? А я что-то не так сделал?)

-- Пн мар 29, 2010 19:56:13 --

Так хочется понять эту задачу!!!!!!

[ИСН]

Я спрашиваю: где, в какой точке Вы нашли максимум?