2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4
 
 Re: Задача с эллипсоидом
Сообщение28.03.2010, 11:35 
paha в сообщении #303488 писал(а):
уравнение контура нашей проекции -- это те точки, в которых производная по $t$ обращается в ноль, т.е. решение системы уравнений $f(\rho+tn)=0$, $(\nabla f(\rho+tn),n)=0$.

Тогда лучше уж без корней (и, соответственно, без параметров). Это те точки, в которых градиент расположен горизонтально -- и, следовательно, частная производная по $z$ обращается в ноль. (Естественно, для гладких поверхностей. И естественно, возможные лишние точки внутри охватывающего контура (если б они появились) пришлось бы выкинуть.)

А впрочем -- что в лоб, что по лбу.

 
 
 
 Re: Задача с эллипсоидом
Сообщение28.03.2010, 11:47 
ewert в сообщении #303456 писал(а):
Придётся, наверное, ещё раз.

Итак, есть уравнение эллипсоида:

$Ax^2+2Bxy+Cy^2+Dz^2+Exz+Fxz=1\qquad\qquad\mathrm{(1)}$.

Т.е. $f(x,y,z)=1$. Нас интересует его проекция на плоскость $XOY$. Это -- объединение всех сечений эллипсоида плоскостями $z=\mathrm{const}$. Т.е. не самих сечений, конечно, а их проекций на горизонтальную плоскость. Каждая из таких проекций -- это эллипс, уравнение которого совпадает с (1), только $z$ в нём интерпретируется как параметр, в то время как $x,y$ -- это переменные.

А с другой стороны, проекция эллипсоида - это проекция эллипса, получаемого от пересечения эллипсоида подобающей плоскостью,
которую (проекцию) находить гораздо легче :)
Ну, да, у Вас ниже то же самое :)





А огибающая всегда получается так. Составляется система из уравнения самого семейства $f(x,y,z)=1$, к которому добавляется уравнение, полученное приравниванием к нулю производной по параметру: $\displaystyle{\partial f(x,y,z)\over\partial z}=0$. В нашем случае -- это уравнение $2Dz+2Ex+2Fy=0$ (т.е. уравнение некоторой плоскости). Выражаем отсюда $z$, подставляем в (1) -- и получаем уравнение границы проекции эллипсоида.

 
 
 
 Re: Задача с эллипсоидом
Сообщение28.03.2010, 11:52 
vvvv в сообщении #303497 писал(а):
А с другой стороны, проекция эллипсоида - это проекция эллипса, получаемого от пересечения эллипсоида подобающей плоскостью,
которую (проекцию) находить гораздо легче :)

До этой плоскости ещё надо добраться. И, кстати, вовсе не всегда это именно плоскость (если брать вместо эллипсоидов или вообще поверхностей второго порядка более общие).

 
 
 
 Re: Задача с эллипсоидом
Сообщение28.03.2010, 12:31 
Что же там добираться - нашел координаты точки касания вертикальной касательной к соответствующему ( повернутому) эллипсу и все дела :)

 
 
 
 Re: Задача с эллипсоидом
Сообщение28.03.2010, 19:18 
paha в сообщении #303488 писал(а):

вот, правда, тут $z$ параметр

Посмотрите на задачу так: $f(r)=0$ -- уравнение поверхности. Любой вектор $r\in{\mathbb R}^3$ однозначно представляется в виде суммы $r=\rho+tn$, где $n$ -- вектор нормали к плоскости на которую мы проектируем, а $\rho$ лежит в этой плоскости. Границы нашей проекции -- в точности концы векторов $\rho$, для которых уравнение $f(\rho+tn)=0$ имеет ровно один корень. Таким образом уравнение контура нашей проекции -- это те точки, в которых производная по $t$ обращается в ноль, т.е. решение системы уравнений $f(\rho+tn)=0$, $(\nabla f(\rho+tn),n)=0$.

В каком виде Вы ни пытайтесь представить неявное уравнение поверхности, это всё равно будет одно нелинейное уравнение относительно трёх переменных. В случае добавления второго уравнения, – плоскости, – это будет система двух уравнений с тремя переменными. И всегда имеется теорема из первого курса о существовании решения системы нелинейных уравнений. То есть, если для этих фигур, Вы выбираете одну из координат в качестве параметра, то условие теоремы нарушаются. Самый простой пример с окружностью. В случае выбора одной из переменных в качестве независимой, Вы не решаете уравнение в двух точках. Сравните c эллипсом и дальше с эллипсоидом. Но, представив переменные функциями от инварианта, например, длины дуги пространственной кривой, Вы получаете однозначную зависимость (но только в одну сторону). А это уже полноценное решение системы уравнений, кроме случая точки самопересечения. Потому что в этой точке все якобианы исходной системы обращаются в 0… Да, первый курс…

 
 
 
 Re: Задача с эллипсоидом
Сообщение28.03.2010, 19:47 
alekcey в сообщении #303680 писал(а):
То есть, если для этих фигур, Вы выбираете одну из координат в качестве параметра, то условие теоремы нарушаются.

Хоссподи, с чем Вы спорите-то. Тут уж все давно к консэнсусу пришли, что надобно для нахождения уравнения проекции преобразовывать соотв. систему -- из исходного уравнения и из получающегося при дифференцировании.

С разных сторон, но -- пришли единодушно. А Вы всё воюете...

"-- Бабка, немцы в деревне есть?
-- Да что ты, милок! Война уж давно как кончилась!
-- А чьи же составы я до сих пор под откос пускаю?..."

$\copyright$

 
 
 
 Re: Задача с эллипсоидом
Сообщение28.03.2010, 19:55 
Аватара пользователя
alekcey в сообщении #303680 писал(а):
В каком виде Вы ни пытайтесь представить неявное уравнение поверхности, это всё равно будет одно нелинейное уравнение относительно трёх переменных. В случае добавления второго уравнения, – плоскости, – это будет система двух уравнений с тремя переменными.


два уравнения с тремя переменными при хороших обстоятельствах (а у нас - хорошие у нас второе уравнение линейно по одной из переменных) сводятся к одному уравнению от двух переменных

 
 
 
 Re: Задача с эллипсоидом
Сообщение28.03.2010, 20:03 
paha в сообщении #303701 писал(а):
два уравнения с тремя переменными при хороших обстоятельствах (а у нас - хорошие у нас второе уравнение линейно по одной из переменных) сводятся к одному уравнению от двух переменных

Кто-то к консенсусу пришёл, а кого-то привели. Но, вижу, ещё не всех…

 
 
 
 Re: Задача с эллипсоидом
Сообщение28.03.2010, 20:26 
vvvv в сообщении #303526 писал(а):
Что же там добираться - нашел координаты точки касания вертикальной касательной к соответствующему ( повернутому) эллипсу и все дела :)

Во-первых, подите найдите её истчо. Во-вторых (или во-первых), подите докажите истчо, что проекция -- это именно некий эллипс.

 
 
 
 Re: Задача с эллипсоидом
Сообщение30.03.2010, 19:53 
Маленький конкретный пример, иллюстрирующий объяснение (очень простое, короткое и доходчивое) с огибающей семейства эллипсов - сечений эллипсоида.
Изображение

 
 
 [ Сообщений: 55 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group