Теория групп. Ступень нильпотентности.

[Denisska]

Добрый день.
Нужно найти точную ступень нильпотентности группы формальных степенных рядов над ассоциативным коммутативным кольцом с единицей. Есть предположение, что она для группы размерности n, равна n-1. Я построил точное линейное отображение группы формальных степенных рядов размерности n в пространство унитреугольных матриц размерности n+1. Далее, из курса "Основы теории групп" известно, что ступень нильпотентности пространства унитреугольных матриц размерности n+1 равна n. И тема самым получаем, что ступень нильпотентности группы формальных степенных рядов ограничена сверху n. Однако, это грубая оценка. Хочется найти точную ступень. Если есть идеи-прошу высказать.

[paha]

"группа формальных степенных рядов над ассоциативным коммутативным кольцом с единицей" не коммутативна?

[Denisska]

в общем случае нет конечно, размерности 1- изоморфна аддитивной группе кольца, размерности 2- абелева, резмерности 3- метаабелева, размерности 4- 3-х-ступеннонильпотентна, и по всей видимости так и будет дальше. Проблема в четком доказательстве данного факта.

-- Вс мар 28, 2010 12:53:03 --

Да, чтобы не было разночтений, рассматривается группа ПОДСТАНОВОК формальных степенных рядов с веденной на ней операцией композиции.

[paha]

не вполне понимаю предмет

число $n$ -- это количество формальных переменных?
природа основного кольца не влияет на ступень?

[Denisska]

Природа вообще говоря влияет, но в данном случае все, что известно это то, что кольцо ассоциативное, коммутативное с единицей.
n-размерность группы, переменная одна. К сожалению Tex поставить на данный момент нет возможности, поэтому в соответствии с правилами не могу оформить формулу общего члена группы. Но если есть интерес могу дать разъяснения другими способами, например по почте или поискать ссылку...

[paha]

Объясните русским языком что такое размерность

я понял так, что берется кольцо $R$, множество формальных рядов

$$ f(x)=x+a_1x^2+a_2x^3+...\, ,\quad a_i\in R $$

и изучается группа относительно композиции $f\cdot g(x)=f(g(x))$ с единицей $e(x)=x$

Где тут размерность?

-- Вс мар 28, 2010 19:04:08 --

а в техе прямо тут писать надо - на сервере оттранслируется

[ИСН]

Ряды до какой-то конечной степени. Всё, что выше, обрезается.

[paha]

Если Вы построили точное представление, то посмотрите на смежные классы группы верхнетреугольных матриц по образу Вашей группы

конечен ли индекс подгруппы?