Задача с эллипсоидом

[ewert]

paha в сообщении #303488 писал(а):

уравнение контура нашей проекции -- это те точки, в которых производная по $t$ обращается в ноль, т.е. решение системы уравнений $f(\rho+tn)=0$, $(\nabla f(\rho+tn),n)=0$.

Тогда лучше уж без корней (и, соответственно, без параметров). Это те точки, в которых градиент расположен горизонтально -- и, следовательно, частная производная по $z$ обращается в ноль. (Естественно, для гладких поверхностей. И естественно, возможные лишние точки внутри охватывающего контура (если б они появились) пришлось бы выкинуть.)

А впрочем -- что в лоб, что по лбу.

[vvvv]

ewert в сообщении #303456 писал(а):

Придётся, наверное, ещё раз.

Итак, есть уравнение эллипсоида:

$Ax^2+2Bxy+Cy^2+Dz^2+Exz+Fxz=1\qquad\qquad\mathrm{(1)}$.

Т.е. $f(x,y,z)=1$. Нас интересует его проекция на плоскость $XOY$. Это -- объединение всех сечений эллипсоида плоскостями $z=\mathrm{const}$. Т.е. не самих сечений, конечно, а их проекций на горизонтальную плоскость. Каждая из таких проекций -- это эллипс, уравнение которого совпадает с (1), только $z$ в нём интерпретируется как параметр, в то время как $x,y$ -- это переменные.

А с другой стороны, проекция эллипсоида - это проекция эллипса, получаемого от пересечения эллипсоида подобающей плоскостью,
которую (проекцию) находить гораздо легче
Ну, да, у Вас ниже то же самое





А огибающая всегда получается так. Составляется система из уравнения самого семейства $f(x,y,z)=1$, к которому добавляется уравнение, полученное приравниванием к нулю производной по параметру: $\displaystyle{\partial f(x,y,z)\over\partial z}=0$. В нашем случае -- это уравнение $2Dz+2Ex+2Fy=0$ (т.е. уравнение некоторой плоскости). Выражаем отсюда $z$, подставляем в (1) -- и получаем уравнение границы проекции эллипсоида.

[ewert]

vvvv в сообщении #303497 писал(а):

А с другой стороны, проекция эллипсоида - это проекция эллипса, получаемого от пересечения эллипсоида подобающей плоскостью,
которую (проекцию) находить гораздо легче

До этой плоскости ещё надо добраться. И, кстати, вовсе не всегда это именно плоскость (если брать вместо эллипсоидов или вообще поверхностей второго порядка более общие).

[vvvv]

Что же там добираться - нашел координаты точки касания вертикальной касательной к соответствующему ( повернутому) эллипсу и все дела

[alekcey]

paha в сообщении #303488 писал(а):

вот, правда, тут $z$ параметр

Посмотрите на задачу так: $f(r)=0$ -- уравнение поверхности. Любой вектор $r\in{\mathbb R}^3$ однозначно представляется в виде суммы $r=\rho+tn$, где $n$ -- вектор нормали к плоскости на которую мы проектируем, а $\rho$ лежит в этой плоскости. Границы нашей проекции -- в точности концы векторов $\rho$, для которых уравнение $f(\rho+tn)=0$ имеет ровно один корень. Таким образом уравнение контура нашей проекции -- это те точки, в которых производная по $t$ обращается в ноль, т.е. решение системы уравнений $f(\rho+tn)=0$, $(\nabla f(\rho+tn),n)=0$.

В каком виде Вы ни пытайтесь представить неявное уравнение поверхности, это всё равно будет одно нелинейное уравнение относительно трёх переменных. В случае добавления второго уравнения, – плоскости, – это будет система двух уравнений с тремя переменными. И всегда имеется теорема из первого курса о существовании решения системы нелинейных уравнений. То есть, если для этих фигур, Вы выбираете одну из координат в качестве параметра, то условие теоремы нарушаются. Самый простой пример с окружностью. В случае выбора одной из переменных в качестве независимой, Вы не решаете уравнение в двух точках. Сравните c эллипсом и дальше с эллипсоидом. Но, представив переменные функциями от инварианта, например, длины дуги пространственной кривой, Вы получаете однозначную зависимость (но только в одну сторону). А это уже полноценное решение системы уравнений, кроме случая точки самопересечения. Потому что в этой точке все якобианы исходной системы обращаются в 0… Да, первый курс…

[ewert]

alekcey в сообщении #303680 писал(а):

То есть, если для этих фигур, Вы выбираете одну из координат в качестве параметра, то условие теоремы нарушаются.

Хоссподи, с чем Вы спорите-то. Тут уж все давно к консэнсусу пришли, что надобно для нахождения уравнения проекции преобразовывать соотв. систему -- из исходного уравнения и из получающегося при дифференцировании.

С разных сторон, но -- пришли единодушно. А Вы всё воюете...

"-- Бабка, немцы в деревне есть?
-- Да что ты, милок! Война уж давно как кончилась!
-- А чьи же составы я до сих пор под откос пускаю?..."
$\copyright$

[paha]

alekcey в сообщении #303680 писал(а):

В каком виде Вы ни пытайтесь представить неявное уравнение поверхности, это всё равно будет одно нелинейное уравнение относительно трёх переменных. В случае добавления второго уравнения, – плоскости, – это будет система двух уравнений с тремя переменными.

два уравнения с тремя переменными при хороших обстоятельствах (а у нас - хорошие у нас второе уравнение линейно по одной из переменных) сводятся к одному уравнению от двух переменных

[alekcey]

paha в сообщении #303701 писал(а):

два уравнения с тремя переменными при хороших обстоятельствах (а у нас - хорошие у нас второе уравнение линейно по одной из переменных) сводятся к одному уравнению от двух переменных

Кто-то к консенсусу пришёл, а кого-то привели. Но, вижу, ещё не всех…

[ewert]

vvvv в сообщении #303526 писал(а):

Что же там добираться - нашел координаты точки касания вертикальной касательной к соответствующему ( повернутому) эллипсу и все дела :)

Во-первых, подите найдите её истчо. Во-вторых (или во-первых), подите докажите истчо, что проекция -- это именно некий эллипс.

[Yu_K]

Маленький конкретный пример, иллюстрирующий объяснение (очень простое, короткое и доходчивое) с огибающей семейства эллипсов - сечений эллипсоида.