Диф. уравнение первого порядка

[Tonn]

Помогите найти общий интеграл. уравнение: y'=(x+8y)/(8x+y)
С чего начать?

[maxmatem]

$\[y' = \frac{{(x + 8y)}} {{(8x + y)}}\] $

-- Сб мар 27, 2010 21:28:47 --

уравнение с разделяющими переменными......

[gris]

Скорее однородное. Но, да, приводится к.

[Tonn]

${{{dy}\over{dx}}}={{{8y+x}\over{y+8\,x}}}$

${{{1}\over{8}}} dy+{{{1}\over{8}}} dx=0$

$\int{{{1}\over{8}}} dy + \int{{{1}\over{8}}} dx = C$

$y/8 + x/8 = C$

Так,да???

[gris]

Можно предположить, что это была квазипопытка решит уравнение в полных дифференциалах, но звон остался далеко.
Посмотрите, с помощью какой замены решаются однородные уравнения.

[ewert]

Товарищи имели в виду, что надобно разделить числитель и знаменатель на икс. Тогда правая часть зависит только от отношения $z(x)=\dfrac{y(x)}{x}$. После чего, сделав формальную подстановку $y(x)=z(x)\cdot x$, $y'(x)=z'(x)\cdot x+z(x)$, придём к уравнению с разделяющимися переменными относительно переменных $z$ и $x$.

Многие любят необоснованно называть такие уравнения однородными. Хотя они лишь -- просто уравнения с "однородной правой частью". Ну тут уж ничего не поделать; красиво жить не запретишь.

-- Сб мар 27, 2010 21:25:03 --

gris в сообщении #303340 писал(а):

уравнение в полных дифференциалах,

да какие тут уж полные дифференциалы. Формально, может, и проскочит, по существу же -- явное издевательство.

[gris]

Красиво живут: Арнольд, Трушков, Краснов, Понтрягин, Петровский. Правда, многие...
Насчёт полных дифференциалов это не моя идея

[ewert]

(Оффтоп)

gris в сообщении #303346 писал(а):

Красиво живут:

За всех вообще не скажу, но в принципе -- эта терминология откровенно неадекватна. Поскольку термин "однородное уравнение" давно и напрочь застолблён за соотв. линейными. И нефиг сбивать детишек с толку. Линейные уравнения ваще (даже и не обязательно дифференциальные, ваще) -- гораздо принципиальнее, чем какой-то несчастный класс дифуравнений, нечаянно сводящийся невзначай к с разделяющимися. Неважно каким способом, даже и не интересно.

[Tonn]

Я так пробывал но вышло что то не то, может где накосячил... Вот что получил:
$y'={{{1+8{{{y}\over {x}}}}\over{8+{{{y}\over {x}}}}}}$
сделал замену $u={{{y\over x}}}$
$y'=u'x+u$, тогда $u'x={{{1+8u}\over{8+u}}}-u = {{{1-u^2}\over{8+u}}}$...если так, то выходит ${{{8+u du}\over{1-u^2}}}={{{dx}\over{x}}}$...???
Голова не соображает...

[ewert]

ну примерно так (если я тоже не зевнул в арифметике), ну так и интегрируйте, делов-то... Всего-то в левой части рациональная дробь, знаменатель которой естественным образом раскладывается на множители, сама же дробь, соотв., -- на простейшие.

Ну или можно свести к как бы табличным гиперболическим функциям. Но это и не спортивно, да и не нужно.

[Tonn]

Меня тут пугает левый интеграл, считал в маткаде получил:

${{{7ln(u+1) - 9ln(u-1)}\over{2}}}$, т.е. выходит ${{{7ln(u+1) - 9ln(u-1)}\over{2}}}+ln(C)=lnx$..? если так, то дальше я не бум-бум...
И еще там берется ln(С) или просто С?

[ewert]

Tonn в сообщении #303383 писал(а):

Меня тут пугает левый интеграл, считал в маткаде получил:

${{{7ln(u+1) - 9ln(u-1)}\over{2}}}$, т.е. выходит ${{{7ln(u+1) - 9ln(u-1)}\over{2}}}+ln(C)=lnx$..? если так, то дальше я не бум-бум...
И еще там берется ln(С) или просто С?

А Вы не пугайтесь. Мало ли что там Маткад скажет. Он ведь тоже изредка дурак (хотя тут вроде и не тот случай).

Вы обязаны быть уверены в себе. И отвечать за себя.

Что же касается констант -- то тут всё достаточно просто. Любую произвольную константу можно пересчитать в любую другую. С точностью до знака. Теоретически бывает и сложнее, но на практике это не очень часто встречается. Так что особо так не нервничайте. А плюс-минус (если понадобится) -- определите по контексту.

[Tonn]

вот что-то насчитал.
${{{1}\over{2}}}*ln{{{(u+1)^7}\over{(u-1)^9}}}=ln({{{(u+1)^7}\over{(u-1)^9}}})^{{{1}\over{2}}}=ln{{{(u+1)^{3,5}}\over{(u-1)^{4,5}}}}$
Т.о. выходит
${{{(u+1)^{3,5}}\over{(u-1)^{4,5}}}}*C=x$..я так понимаю, что это все что требовалось, на этом уже можно остановиться, да?

[ИСН]

Ну, в общем, красивее уже не будет.

[Kuzya]

(Оффтоп)

Цитата:

За всех вообще не скажу, но в принципе -- эта терминология откровенно неадекватна. Поскольку термин "однородное уравнение" давно и напрочь застолблён за соотв. линейными. И нефиг сбивать детишек с толку. Линейные уравнения ваще (даже и не обязательно дифференциальные, ваще) -- гораздо принципиальнее, чем какой-то несчастный класс дифуравнений, нечаянно сводящийся невзначай к с разделяющимися. Неважно каким способом, даже и не интересно.

Не надо выдавать личные пристрастия к тем или иным определениям за собственную 100%-ную адекватность, ибо любому посетителю заведения МЕХМАТ известна его близость к заведению им. КАЩЕНКО :)