2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Задача с эллипсоидом
Сообщение27.03.2010, 10:51 
Заблокирован


19/09/08

754
Вот эллипсоид вращения, наклоненный под 45 градусов и его проекция на пл. XOY.
Проекция (отверстие), действительно, является эллипсом.

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с эллипсоидом
Сообщение27.03.2010, 11:55 
Аватара пользователя


01/12/09
80
Значит, уравнение эллипса спроецированного на плоскость XOY:

$$Ax^2+2Bxy+CY^2-\left({E\over D}\,x+{F\over D}\,y\right)^2=1.$$

c параметрами A,B,C - понятно. Это сама форма эллипсойда.

А что делать с F,D,E коэффициентами.

ewert в сообщении #302984 писал(а):
Т.е, фактически, получится эллипс $$\left(A-{E\over D}\right)x^2+2Bxy+Cy^2=1.$$ Если $E=0$ (т.е. эллипсоид "расположен вертикально"), то получится просто сечение его горизонтальной плоскостью. А иначе -- нет.


А если E не равно 0. Те есть косинус 90 градусов равен нулю. То есть $E=\cos(\alpha)$ . Так что ли получается? А F,D что означают тогда?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с эллипсоидом
Сообщение27.03.2010, 12:25 
Заблокирован


19/09/08

754
Я делал не так.
Уравнения эллипсоида записывал в параметрическом виде.
С помощью матрицы вращения поворачивал его на нужный угол (скажем вокруг оси X).
Определял большую полуось эллипса -отверстия.
По имеемым полуосям записывал (в параметрическом виде) уравнение эллипса-отверстия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с эллипсоидом
Сообщение27.03.2010, 12:48 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
ht1515 в сообщении #303051 писал(а):
А что делать с F,D,E коэффициентами.

Ничего не делать. Какие в исходном уравнении есть, такие и использовать.

Они, конечно, связаны с углами поворота главных осей эллипсоида по отношению к координатным, но возиться с этим в общем случае -- морока. Ну разве что если эллипсоид -- действительно вращения, там можно считать $B=0$, а остальные выражаются через полуоси и угол, который фактически единственен.

Там у меня, кстати, опечатка. Надо, соответственно, $\left(A-\dfrac{E^2}{D}\right)$ и $\dfrac{\left(Ex+Fy\right)^2}{D}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с эллипсоидом
Сообщение27.03.2010, 12:50 
Аватара пользователя


01/12/09
80
а так проекцию записать случайно нельзя?
$$(x^2)*(\cos(90-\alpha)) / a^2+(y^2)*(\sin(\alpha))/ b^2=1$$

-- Сб мар 27, 2010 13:00:12 --

Цитата:
Ничего не делать. Какие в исходном уравнении есть, такие и использовать.


Исходное уравнение это уравнение эллипсойда.
Оно так выглядит:
$$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{ b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$$
тут F,D,E коэффициенты не присутствуют же. Или я что то не понял опять?

Или вы решили это как систему
$$\begin{cases}\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{ b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1; \\ d*x+e*y+f*z+g=0;\end{cases}$$
Пересечение эллипса и плоскости.
хотя тогда получиться сечение, а не проекция.

Вообщем я не понял как вы систему составили в самом 1 посте. :?

да и потом мне все равно угол нужно знать, например нутации. Он как исходные данные будет. То есть прийдется все равно выражать через него коэффициенты наверно.
Или угол будет фигурировать в $$\tg(2\beta)=\dfrac{2B}{A-C}$$
Если $$A \not = C$$
Иначе $$\beta=\dfrac{\pi}{4}$$
Если уравнение такое
$$Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=1; $$
то надо заменять координаты. То есть решить систему

$$\begin{cases} x=\cos(\beta)*x`-\sin(\beta)*y`; \\ x=\cos(\beta)*y`+\sin(\beta)*x`\end{cases}$$

Потом поставить в общее уравнение. Угол у нас известен. И дальше определить дельту, но она больше нуля будет всегда - эллиптически тип. И потом уже найдем точку центра и нарисуем эллипс.
Так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с эллипсоидом
Сообщение27.03.2010, 13:53 
Аватара пользователя


01/12/09
80
то есть такую систему
$$\begin{cases} x=\cos(\beta)*x`-\sin(\beta)*y`; \\ y=\cos(\beta)*y`+\sin(\beta)*x`\end{cases}$$

Но как тогда из
$$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{ b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$$
как Получить вот это?
$$Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=1; $$

И получается что угол всегда постоянный будет если A,B,C это размеры формы эллипсойда. В чем то касяк.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с эллипсоидом
Сообщение27.03.2010, 14:45 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
ht1515 в сообщении #303071 писал(а):
а так проекцию записать случайно нельзя? $$(x^2)*(\cos(90-\alpha)) / a^2+(y^2)*(\sin(\alpha))/ b^2=1$$

Так нельзя, причём неслучайно. Можно вот как.

Эллипсоид вращения описывается уравнением $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{z^2}{b^2}=1$. Отклоним его на некоторый угол относительно вертикального положения. Для определённости -- вокруг оси $OY$ (т.е. в плоскости $XOZ$). Тогда слагаемое $\dfrac{y^2}{a^2}$ сохранится, поэтому полуосью по игрекам для проекции эллипсоида на плоскость так и останется $a$.

А полуось по иксам -- это, собственно, полудлина проекции на ось $OX$ эллипса $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{z^2}{b^2}=1$, повёрнутого на тот самый угол. Т.е., фактически, расстояние $r$ от начала координат до касательной к эллипсу, наклонённой к осям этого эллипса на соответствующий угол.

Уравнение касательной к эллипсу (неповёрнутому), проходящей через точку $(x_0,y_0)$ -- это $\dfrac{x\,x_0}{a^2}+\dfrac{y\,y_0}{b^2}=1$. Перепишем его в виде $mx+ny=1$, где $(m,n)=({x_0\over a^2},{y_0\over b^2})=\dfrac{1}{r}\cdot(c,s)$ -- координаты (в плоскости $XOZ$) нормального вектора, $c,s$ -- косинус и синус угла отклонения, а $r$ -- это и есть искомое расстояние (это нормировочный множитель для приведения уравнения прямой к нормальному виду).

Поскольку точка $(x_0,y_0)$ всё же лежит на эллипсе, имеем соотношение: $a^2m^2+b^2n^2=1$. Откуда $a^2\dfrac{c^2}{r^2}+b^2\dfrac{s^2}{r^2}=1$, откуда $r=\sqrt{a^2c^2+b^2s^2$. Окончательно получаем уравнение проекции эллипсоида в виде $${x^2\over a^2\cos^2\varphi+b^2\sin^2\varphi}+{y^2\over a^2}=1,$$ где $\varphi$ -- угол отклонения оси симметрии эллипсоида от вертикального положения в направлении оси $OX$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с эллипсоидом
Сообщение27.03.2010, 16:15 
Аватара пользователя


01/12/09
80
ооо вот это уже... нормально. Это когда он вдоль ОХ меняет угол
$${x^2\over a^2\cos^2\varphi+b^2\sin^2\varphi}+{y^2\over a^2}=1,$$
А если вдоль ОУ
$${x^2\over a^2}+{y^2\over a^2\cos^2\varphi+b^2\sin^2\varphi}=1,$$
А если и там и сям отклонение будет ,то есть и с одной и с другой стороны?

Цитата:
Эллипсоид вращения описывается уравнением

Под игреком а у вас сверху в уравнении?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с эллипсоидом
Сообщение27.03.2010, 16:27 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
ht1515 в сообщении #303144 писал(а):
А если и там и сям отклонение будет ,то есть и с одной и с другой стороны?

А тогда этот эллипс просто развернётся по направлению той линии, к которой идёт наклон. Т.е. в окончательном уравнении надо будет просто сделать соответствующий поворот в плоскости $XOY$.

ht1515 в сообщении #303144 писал(а):
Под игреком а у вас сверху в уравнении?

Естественно, он же вращения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с эллипсоидом
Сообщение27.03.2010, 16:35 
Аватара пользователя


01/12/09
80
если честно, когда начинал тему ,не думал, что так сложно всё окажется.

Я думал уже есть готовые формулы, уже кто-то посчитал. А оказалось о как.

ewert, вы можете досчитать ещё для разных фигур, опубликовать формулы, может премию дадут даже.

Формула ewert проекции эллипсойда.
Формула ewert проекции квадрата.

Очень странно, что никто их не считал раньше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с эллипсоидом
Сообщение27.03.2010, 16:43 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
ht1515 в сообщении #303164 писал(а):
Очень странно, что никто их не считал раньше.

Все считали. Но никто этих вычислений не читает без необходимости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с эллипсоидом
Сообщение27.03.2010, 16:47 
Аватара пользователя


01/12/09
80
ewert в сообщении #303170 писал(а):
ht1515 в сообщении #303164 писал(а):
Очень странно, что никто их не считал раньше.

Все считали. Но никто этих вычислений не читает без необходимости.

да, но в справочниках нет их же, значит они ни за кем не числятся. Это как Гаусс придумал геометрию , но побоялся публиковать, а Лобаческий написал. Что-то типо этого.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с эллипсоидом
Сообщение27.03.2010, 16:52 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
ht1515 в сообщении #303176 писал(а):
да, но в справочниках нет их же, значит они ни за кем не числятся.

В каких конкретно справочниках? Всех-всех? Вы ни одного не пропустили?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с эллипсоидом
Сообщение27.03.2010, 20:39 
Заблокирован


04/09/09

87
еwert, Вы голову морочите человеку своей активностью, причём здесь проекция? Пусть края дырки, а не сама дырка являются пространственной линией. Почему у Вас она непременно проекция, проекция тогда чего? Именно пространственная линия и проецируется, если надо, а так, у неё самой есть уравнение, которое и определяется системой из уравнения плоскости и уравнения эллипсоида. И есть метод, который позволяет находить все три координаты этой линии… Вот и блесните своей эрудицией, покажите не уравнение проекции, а уравнение линии в пространстве, именно ответьте на первоначально поставленный вопрос…

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с эллипсоидом
Сообщение27.03.2010, 21:08 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
alekcey в сообщении #303309 писал(а):
Пусть края дырки, а не сама дырка являются пространственной линией.

Края не могут послужить линией. Конкретнее, плиз.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 55 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group