а так проекцию записать случайно нельзя?

Так нельзя, причём неслучайно. Можно вот как.
Эллипсоид вращения описывается уравнением

. Отклоним его на некоторый угол относительно вертикального положения. Для определённости -- вокруг оси

(т.е. в плоскости

). Тогда слагаемое

сохранится, поэтому полуосью по игрекам для проекции эллипсоида на плоскость так и останется

.
А полуось по иксам -- это, собственно, полудлина проекции на ось

эллипса

, повёрнутого на тот самый угол. Т.е., фактически, расстояние

от начала координат до касательной к эллипсу, наклонённой к осям этого эллипса на соответствующий угол.
Уравнение касательной к эллипсу (неповёрнутому), проходящей через точку

-- это

. Перепишем его в виде

, где

-- координаты (в плоскости

) нормального вектора,

-- косинус и синус угла отклонения, а

-- это и есть искомое расстояние (это нормировочный множитель для приведения уравнения прямой к нормальному виду).
Поскольку точка

всё же лежит на эллипсе, имеем соотношение:

. Откуда

, откуда

. Окончательно получаем уравнение проекции эллипсоида в виде

где

-- угол отклонения оси симметрии эллипсоида от вертикального положения в направлении оси

.