Задача с эллипсоидом

[ht1515]

все знают формулу эллипсойда
http://planetcalc.ru/149/
Но задача не в том.
Вот тут эллипсойд расположен (расстянут) вдоль некоторой оси(желтая стрелка). Эта стрелка перпендикулярна плоскости поверхности(она коричневого цвета или какого-то непонятного, не важно)
Если мы мысленно пропустим этот эллипсод через проскость и при этом отметим( черным например) дырку ,которая образуется когда эллипсойд проходит плоскость. Это дырка -будет окружность(круг) радиус которого будет равен максимальному радиусу эллипсойда по оси(желтой стрелке)


Внимание вопрос.

Что если ось(желтая стрелка) будет не под 90 градусов к плоскости,а под другим углом.
Как определить форму дырки,которая получиться при прохождении эллипсойда через плоскость?

[venco]

ht1515 в сообщении #302922 писал(а):

Что если ось(желтая стрелка) будет не под 90 градусов к плоскости,а под другим углом.
Как определить форму дырки,которая получиться при прохождении эллипсойда через плоскость?

Эллипс.
Или Вы имеете в виду суммарную дырку, т.е. проекцию на плоскость?
Всё равно, скорее всего, эллипс.

[ht1515]

Цитата:

Эллипс.

да это понятно. Имеется ввиду какая функциональная зависимость будет между формой дырки и углом поворота? То есть вот я угол то поменял на 30 градусов и на 60 и в результате форма эллипса разная же будет, вот надо понять из-за чего так. Формулу выражения не могу отыскать.

[Полосин]

Насколько я понимаю, речь идет о плоских сечениях эллипсоида. Запишите каноническое уравнение эллипсоида и уравнение секущей плоскости. При необходимости перейдите к другим координатам (поворот, параллельный перенос).

[ИСН]

Осталась фигня: какой плоскостью сечь. Той, на которую проекция? Нет.

[Полосин]

Всеми - и выбрать сечение с наибольшей площадью.

[ИСН]

Отрицаю.

[Полосин]

Я понял задачу так: поворачиваем эллипсоид в пространстве и рассматриваем его плоские сечения. Может быть, автор темы все-таки поставит задачу недвусмысленно?

[ИСН]

Я понял как проекцию. Да, неплохо бы уточнить.

[paha]

Да, что имеется ввиду - ортогональная проекция на плоскость, или параллельная (параллельно желтой оси) проекция на ту же плоскость? В случае на рисунке это одно и то же, а при наклоне -- нет.

И вот еще что:

ht1515 в сообщении #302922 писал(а):

Это дырка -будет окружность(круг) радиус которого будет равен максимальному радиусу эллипсойда по оси(желтой стрелке)

значит это -- эллипсоид вращения... это принципиально?

[ewert]

Это будет объединение всех сечений данной плоскостью. Т.е. можно считать, что огибающая. Т.е. проекция на данную плоскость сечения эллипсоида некоторой другой плоскостью.

Например, при проецировании (ортогональном) на плоскость $XOY$ выйдет эллипс, уравнение которого получается исключением $z$ из системы:

$$\begin{cases}Ax^2+2Bxy+Cy^2+Dz^2+2Exz=1; \\ 2Dz+2Ex=0\end{cases}$$

(первое уравнение -- эллипсоида; оси в горизантальной плоскости развёрнуты так, чтобы убрать слагаемое $yz$). Т.е, фактически, получится эллипс

$$\left(A-{E\over D}\right)x^2+2Bxy+Cy^2=1.$$

Если $E=0$ (т.е. эллипсоид "расположен вертикально"), то получится просто сечение его горизонтальной плоскостью. А иначе -- нет.

[ht1515]

Да, я имел ввиду проекцию. Забыл начертательную геометрию и начал мастерить велосипед из слов.

Вот тут нарисовал


или
http://piccy.info/view/61fbe8064b77460a0139cf3589a544b2/

Вот представьте пуля летит в плоскость, пуля боком врезается в неё (пуля- эллипсойд). Дырка - проекция же. Дырка не может быть сечением пули.

ewert, спасибо. Но я кое что не понял.
если ось эллипсойда перпендикулярна плоскости:

$$\ A*x^2+2Bxy+Cy^2=1.$$

А если угол появится? А,В,С - коэффициенты чего?

[vvvv]

Так все-таки, в общем случае для эллипсоида вращение отверстие будет имет форму эллипса или нет?

[alekcey]

ht1515 в сообщении #303002 писал(а):

Да, я имел ввиду проекцию. Забыл начертательную геометрию и начал мастерить велосипед из слов.

Вот тут нарисовал


или
http://piccy.info/view/61fbe8064b77460a0139cf3589a544b2/

Вот представьте пуля летит в плоскость, пуля боком врезается в неё (пуля- эллипсойд). Дырка - проекция же. Дырка не может быть сечением пули.

ewert, спасибо. Но я кое что не понял.
если ось эллипсойда перпендикулярна плоскости:

$$\ A*x^2+2Bxy+Cy^2=1.$$

А если угол появится? А,В,С - коэффициенты чего?

Дырка не проекция, а линия пересечения поверхностей. Пространственная. Уравнение, которой получается из системы, похожей на ту, что Вам представили, но только с полноценным уравнением плоскости…

[ewert]

ht1515 в сообщении #303002 писал(а):

Дырка - проекция же. Дырка не может быть сечением пули.

Может быть, а может и не быть.

ht1515 в сообщении #303002 писал(а):

А,В,С - коэффициенты чего?

Коэффициенты общего уравнения элипсоида. Пропущено только слагаемое типа $Fyz$. Но комбинацию $Exz+Fyz=z(Ex+Fy)$ всегда можно привести к виду $\widetilde E\widetilde xz$ подходящим поворотом в горизонтальной плоскости, т.е. вокруг оси $OZ$. А остальные слагаемые при этом принципиально не изменятся, только коэффициенты станут другими.

Впрочем, легко написать уравнение и для совсем общего случая (без устранения $Fyz$):

$$Ax^2+2Bxy+CY^2-\left({E\over D}\,x+{F\over D}\,y\right)^2=1.$$

Просто это менее наглядно.

vvvv в сообщении #303004 писал(а):

Так все-таки, в общем случае для эллипсоида вращение отверстие будет имет форму эллипса или нет?

Ну, раз уж всегда и непременно и для всех эллипсоидов вообще будет -- то, скорее всего, и для эллипсоида вращения тоже будет.

-- Сб мар 27, 2010 09:58:13 --

alekcey в сообщении #303006 писал(а):

Дырка не проекция, а линия пересечения поверхностей.

Дырка -- именно проекция, а вот линией (какой бы то ни было) она быть никак не может. Слишком уж она тонкая.