Степенной ряд

[oleg-spbu]

Найти область сходимости степенного ряда
А нужно ли проверять сходимость на границах интервалов?

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2^{2k}{x^k}}{(2k)!}$

Сначала нужно найти радиус сходимости

$R=\lim\limits_{n \to \infty}{\dfrac{2^{2k}}{(2k)!}\cdot \dfrac{(2(k+1))!}{2^{2(k+1)}}=\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{(2(k+1))!}{(2k)!}=\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot ...\cdot }{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot 10\cdot ...\cdot}=?$

Как понять чему равно отношение произведений нечетных и четных чисел?)

[ИСН]

Хе, дак это - на краях - самое интересное.
Тут надо играться с формулой Стирлинга. Вы что понимаете под этими восклицательными знаками? Откуда на последнем шаге получилась такая радость?

[oleg-spbu]

Ой да, я чего-то напутал)))

$R=\lim\limits_{n \to \infty}{\dfrac{2^{2k}}{(2k)!}\cdot \dfrac{(2(k+1))!}{2^{2(k+1)}}=\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{(2(k+1))!}{(2k)!}=\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{1}{4}(2k+2)=\infty$

[ИСН]

Вот то-то.
(Ещё там у Вас сверху немного ой, но один хрен в итоге $\infty$)

[oleg-spbu]

Исправил!

[ИСН]

Исправьте ещё раз.
Сколько чисел входят в верхний факториал? А в нижний? А сколько чисел, таким образом, останутся несокращёнными?

[oleg-spbu]

С этими границами не так все просто, вот например такой ряд

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2 + 1}{3\cdot k^3 +2}\cdot (x-2)^k$

$R=\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{2\cdot k^2 + 1}{3\cdot k^3 +2}\cdot \dfrac{3\cdot (k+1)^3 +2}{2\cdot (k+1)^2 + 1}=1$

$-1<x-2<1$ => $1<x<3$ - интервал сходимости

Рассмотрим поведение ряда на концах интервала

1) $x=1$

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2 + 1}{3\cdot k^3 +2}\cdot (1-2)^k=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2 + 1}{3\cdot k^3 +2}\cdot (-1)^k$

Т.е. признак Деламбера ничего не дал!!!

[ИСН]

Великие гуру древности говорили, что признаки применять не нужно вообще, или нужно только потом. Чтобы доказать, обосновать, то-сё. А сначала нужно посмотреть ему (ряду) в душу и понять, что же он на самом деле.
Ваш ряд, к примеру, это $1\over k$.

[oleg-spbu]

Сейчас подумаю, что именно исправлять...

$\dfrac{(2(k+1))!}{(2k)!}$

Пусть $k=4$

$\dfrac{(2(4+1))!}{(2\cdot 4)!}=\dfrac{10!}{8!}=10\cdot 9=10$

$\dfrac{(2(k+1))!}{(2k)!}=(2k+2)(2k+1)$

Так?)

-- Пт мар 26, 2010 19:17:34 --

Спасибо большое! Очень помогли!

Т.е. это типа по признаку сравнения похож на гармонический ряд, поэтому расходится?!!

[12d3]

oleg-spbu в сообщении #302768 писал(а):

Рассмотрим поведение ряда на концах интервала

1) $x=1$

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2 + 1}{3\cdot k^3 +2}\cdot (1-2)^2=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2 + 1}{3\cdot k^3 +2}$

По признаку Деламбера

Видно, что на больших $k$ члены ряда примерно равны $\frac{2}{3k}$, а это уже гармонический ряд, который расходится. Чтобы все строго доказать, представьте каждый член ряда как сумму $\frac{2}{3k}$ и еще какого-то слагаемого. Таким образом, ряд можно представить в виде суммы двух других рядов, один из которых расходится, а другой сходится(проверьте это).

[oleg-spbu]

Можно ли так оформить?!!!

Рассмотрим поведение ряда на концах интервала

1) $x=1$

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2 + 1}{3\cdot k^3 +2}\cdot (1-2)^2=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2 + 1}{3\cdot k^3 +2}$

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2 + 1}{3\cdot k^3 +2}=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2}{3\cdot k^3 +2}+\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{3\cdot k^3 +2}$

Рассмотрим ряд

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2}{3\cdot k^3 +2}$

$a_n=\dfrac{2\cdot k^2}{3\cdot k^3 +2}<\dfrac{2\cdot k^2}{3\cdot k^3}=\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{1}{k}$

Поэтому

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2}{3\cdot k^3 +2}<\dfrac{2}{3}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k}$

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k}$ расходится, тк это гармонический ряд.

Из расходимости $\dfrac{2}{3}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k}$

Следует расходимость $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2 + 1}{3\cdot k^3 +2}$

На границе $x=1$ Степенной ряд

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2 + 1}{3\cdot k^3 +2}\cdot (x-2)^2$

расходится

2) $x=3$

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2 + 1}{3\cdot k^3 +2}\cdot (3-2)^2=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2 + 1}{3\cdot k^3 +2}$

Этот ряд совпадает с числовым рядом, который получился на границе $x=1$, поэтому он также расходится.

[ИСН]

У Вас в степенном, эээ, ряду x в какой степени входит?

[oleg-spbu]

Да, вы правы, там степень $k$

[ИСН]

Теперь вспомните, что $1\over k$ и $(-1)^k\over k$ - это совсем разные ряды.

[oleg-spbu]

Рассмотрим поведение ряда на концах интервала

1) $x=1$

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2 + 1}{3\cdot k^3 +2}\cdot (1-2)^k=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2 + 1}{3\cdot k^3 +2}\cdot (-1)^k$


Теперь по признаку Лейбница нужно исследовать сходимость

a) $\lim\limits_{k \to \infty}\dfrac{2\cdot k^2 + 1}{3\cdot k^3 +2}=\lim\limits_{k \to \infty}\dfrac{k^2(2 + 1/k^2)}{k^3(1 +2/k^3)}=\lim\limits_{k \to \infty}\dfrac{2 + 1/k^2}{k(1 +2/k^3)}=0$

б) нужно сравнить

$\dfrac{2\cdot k^2 + 1}{3\cdot k^3 +2}$ vs. $\dfrac{2\cdot (k+1)^2 + 1}{3\cdot (k+1)^3 +2}$

А сделать это непросто, на бесконечности они примерно одинаковы)

2) $x=3$

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2 + 1}{3\cdot k^3 +2}\cdot (3-2)^k=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2 + 1}{3\cdot k^3 +2}\cdot (1)^k$

А $1^k$ - это ведь тоже неопределенность (при $k \to \infty$), как с ней разобраться?!