сепарабельно ли D(R)?

[nckg]

Является ли пространство основных функций $\mathcal D(\mathbb R)$ сепарабельным?

Думаю, что да. Возьмём $K_j=[-j,j]$ и рассмотрим множество функций, равных многочлену (с рациональными коэффициентами), умноженному на срезающую функцию $K_j$. Это множество будет счётным и всюду плотным.

[AD]

Раз пока никто так и не ответил, давайте я глупый вопрос спрошу. В каком-таком смысле у Вас срезающая функция? Прямо индикатор? Тогда полученные функции будут негладкими, и в $\mathcal{D}$ не попадут.

[CowboyHugges]

AD
"Срезающая функция", по-моему, достаточно общепринятое обозначение некоторой функции из $C^{\infty}(R)$ равной единице в окрестности области и нулю вне этой окрестности. Такая существует для любой области.

[nckg]

AD, под срезающей функцией я понимаю то, что написал CowboyHugges. Такую функцию можно получить с помощью "шапочки".

[ewert]

nckg в сообщении #302041 писал(а):

и нулю вне этой окрестности.

ну не буквально же этой. Более широкой.

Да, так можно. Но можно обойтись и без теоремы Вейерштрасса (которая не так уж и тривиальна). Вот прямая конструкция.

Пусть $\varphi(x)$ -- бесконечно дифференцируемая финитная функция (а для простоты ещё и положительная и с носителем $(-1;1)$), интеграл от которой равен ровно единице (тоже для простоты). Пусть $\varphi_n(x)=n\,\varphi(nx)$ и $\psi_{n,q}(x)=\varphi_n(x-q)$, где $q$ рационально. Тогда множество всех линейных комбинаций функций $\psi_{n,q}$ с рациональными коэффициентами счётно. И сколь угодно точно приближает равномерно любую основную функцию.

Или другой вариант этой же идеи -- более простой, но чуть длиннее оформляемый, поэтому на словах. Любую основную функцию можно приблизить кусочно-линейными с рациональными координатами вершин (просто из-за её равномерной непрерывности). Множество таких кусочно-линейных функций счётно. Правда, они не гладки; но их легко сгладить свёртками с вот теми самыми функциями $\varphi_n(x)$. При этом не теряется ни счётность множества, ни его плотность (ибо последовательность свёрток стремится к сворачиваемой непрерывной функции равномерно).

[nckg]

ewert в сообщении #302102 писал(а):

ну не буквально же этой. Более широкой.

Да, в более широкой, невнимательно прочитал . Ещё "срезающую функцию" можно получить свёрткой индикатора (некоторой окрестности области) и шапочки (с достаточно "маленьким" носителем).

ewert в сообщении #302102 писал(а):

И сколь угодно точно приближает равномерно любую основную функцию.

А это откуда следует?

Полунормы в $\mathcal D(\mathbb R)$ определяются так:

$$ p_{K,N}(f)= \max_{j\leqslant N}\max_{x\in K} |\partial^j f(x)|, \;\; f\in \mathcal D(\mathbb R), $$

где $K\Subset \mathbb R$ - компакт.
Поэтому во втором способе, наверное, нужно ещё немного повозиться и сначала проаппроксимировать $N$-ую производную $f$ кусочно-линейной ф-цией с рац. коорд. вершин, затем проинтегрировать $N$ раз, и результат свернуть с $\varphi_n$.

[ewert]

nckg в сообщении #302121 писал(а):

ewert в сообщении #302102 писал(а):

И сколь угодно точно приближает равномерно любую основную функцию.

А это откуда следует?

Так ведь для основной функции все производные равномерно непрерывны. Поэтому если $u(x)$ -- основная функция и $u_n(x)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}u(t)\cdot\varphi_n(x-t)\,dt$, то любой (конечный) набор производных $u^{(j)}(x)$ равномерно приближается набором функций $u_n^{(j)}(x)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}u^{(j)}(t)\cdot\varphi_n(x-t)\,dt$. А последние, в свою очередь, равномерно приближаются своими интегральными суммами с рациональными узлами (поскольку модуль непрерывности произведения оценивается через модули непрерывности сомножителей). Т.е., в конечном счёте, линейными комбинациями функций $\psi_{n,q}(x)=\varphi_n(x-q)$.

Со вторым вариантом -- согласен, лучше от него отречься, чтоб не возиться.

[nckg]

Спасибо, ewert! Идея с аппроксимацией свёрток интегральными суммами действительно выглядит лучше, чем аппроксимация производных по теореме Вейерштрасса.

[ewert]

nckg в сообщении #302158 писал(а):

аппроксимация производных по теореме Вейерштрасса.

Да, кстати, а я вот чего-то засомневался в логической простоте Вашего варианта доказательства. Насколько общеизвестно обобщение теоремы Вейерштрасса с $C([a;b])$ на пространство $C^{(l)}([a;b])$? Т.е. верно-то оно верно, конечно, но насколько общеизвестно?...

[nckg]

Я тоже пытался найти обобщение теоремы Вейерштрасса на $C^{(l)}([a,b])$ в литературе, но не нашёл.
Поэтому в моём доказательстве нужно сначала аппроксимировать старшую ($N$-ую) производную функции $f$ с помощью обычной (для $C([a;b])$) теоремы Вейерштрасса, и затем проинтегрировать её $N$ раз так, чтобы полученная функция $\widetilde f$ обладала свойством: $\widetilde f^{(j)}(x_0)=f^{(j)}(x_0)$, $j=0,...,N-1$, где $x_0\in [a,b]$ --- фиксированная точка.

[ewert]

nckg в сообщении #302177 писал(а):

, чтобы полученная функция $\widetilde f$ обладала свойством: $\widetilde f^{(j)}(x_0)=f^{(j)}(x_0)$, $j=0,...,N-1$, где $x_0\in [a,b]$ --- фиксированная точка.

Вот этого я не понял. Что там за фиксированная точка?...

По-моему, этот фокус так просто не пройдёт.

Аппроксимировать производную-то Вы аппроксимируете, и предыдущие производные (вплоть до самой функции) тоже автоматически окажутся аппроксимированными, конечно. Но: где гарантия того, что восстановленная интегрированиями функция окажется финитной?...

Нет такой гарантии. Придётся поизвращаться.

[nckg]

ewert в сообщении #302308 писал(а):

Что там за фиксированная точка?...

Если мы хотим приблизить $f\in \mathcal D(\mathbb R)$ по полунорме $p_{K,N}$, то в качестве $x_0$ берём любую точку $K$. Потом приближаем $f^{(N)}$ по Вейерштрассу, интегрируем как описано выше.

ewert в сообщении #302308 писал(а):

Нет такой гарантии. Придётся поизвращаться.

Вот для этого полученную функцию $\widetilde f$ умножаем на "срезающую" функцию достоточно большого компакта $K_j=[-j,j]\supset K$. На значение полунормы $p_{K,N}$ это не влияет.