Обощенные функции (распределения) и формализм записи

[Borat]

У меня возник такой вопрос относительно теории распределений:

Пусть мы рассматриваем пространство $K'$ (это в котором пробными являются финитные бесконечно-дифференцируемые функции).

В нем есть два типа обобщенных функций: регулярные и сингулярные. И те, и те обозначают символом $(f; \phi)$. Причем в регулярном случае этот символ содержит и "инструкцию" о том, как посчитать данный функционал: $(f; \phi) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x) \phi(x)\,dx$.

В сингулярном случае символ $(f; \phi)$ является просто символом, посмотрев на него посчитать функцию мы не сумеем. Потому его надо снабдить дополнительной инструкцией, например: $(\delta; \phi) \equiv \phi(0)$.

После того, как вводится определение производной обобщенной функции и порядка сингулярности, то оказывается возможным определять многие сингулярные (те, которые имеют конечный порядок сингулярности) обощенные функции как $n$-тые производные от некоторых регулярных функций. Например: $(\delta; \phi) \equiv -(\Theta; \phi')$.

Такой способ определения обобщенных функций кажется мне привлекательным с точки зрения приложения его к получению обобщенных решений дифференциальных уравнений.

Например, путь необходимо найти частное обощенное решение уравнения: $(x y)' = 0$.

Ясно, что таковым будет сингулярная обобщенная функция $(y, \phi) = vp \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{\phi(x)}{x}\,dx $ (интеграл Коши).

Если искать решение данного уравнения формально, то мы получим решением $ y = \frac{1}{x} $, которое не является классическим решением, однако запись которого в виде интеграла $(\frac{1}{x}; \phi) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{\phi(x)}{x}\,dx $ почти полностью совпадает с записью обобщенного решения, за тем исключением, что данный интеграл не существует, т.к. расходится. Тем не менее, если заметить, что $ 1 / x = (sgn(x) \log(|x|))' $ (почти всюду), то появляется возможность расшифровать запись $(\frac{1}{x}; \phi)$, а именно: $(\frac{1}{x}; \phi) = ((sgn(x) \log(|x|))'; \phi) = -((sgn(x) \log(|x|)); \phi') = vp \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{\phi(x)}{x}\,dx$ (последнее равенство проверяется напрямую).

Аналогично (насколько мне известно, так часто делают в теории сингулярных интегралов) можно определить: $(\frac{1}{x^2}; \phi) = -((sgn(x) \log(|x|))''; \phi) = ((sgn(x) \log(|x|))'; \phi') = -((sgn(x) \log(|x|)); \phi''). Причем последнее равеноство эквивалетно взятию интеграла $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{\phi(x)}{x^2}\,dx $ в смысле конечной части по Адамару.

Теперь рассмотрим другое уравнение: $x^3 y' + 2 y = 0$. Оно не имеет обобщенного решения. Формальным решением у него является функция $y = \exp(x^{-2})$. Было бы здорово, если бы был критерий, который бы говорил, является ли полученное формальное решение обобщенным решением (и следовательно указывал бы такую регулярную функцию, производная которой определяет данное обобщенное решение).

Собственно вопрос: существует ли такой критерий или же приведенный мной пример совпадения формального и обобщенного решений первого уравнения является исключением, а не закономерностью?