Вычислить

[Руст]

Последовательность задано рекурентной формулой $|a_0|=\frac{2}{\sqrt 3}, a_{n+1}=a_n^5-5a_n^3+5a_n$. Вычислить $a_{10000}.$

[Highwind]

Руст писал(а):

Последовательность задано рекурентной формулой $|a_0|=\frac{2}{\sqrt 3}, a_{n+1}=a_n^5-5a_n^3+5a_n$. Вычислить $a_{10000}.$

Енто тонко относится к перебору на компутерах
Тады я юмор оценил

[Sasha2]

Мне кажется, что тут можно воспользоваться подстановкой
x_n=tg(y_n)
Но еще не совсем уверен.

[Руст]

Формула для общего члена, выражающая через $a_0$ существует, только окончательный ответ будет легче считать для $a_0=\pm \sqrt 3 .$

[Sasha2]

Да с корнями тройки все понятно. Там чередование идет четных и нечетных членов последовательности. Так что для этого случая ответ \pm\sqrt3

[Руст]

Вообще то я рекурентную формулу выбрал так, чтобы было $a_n=2cos(x_n),x_{n+1}=5x_n$, т.е. $a_n=2cos(5^n arccos(\frac{a_0}{2})).$ Только не выбрал хорошее начальное значение.

[Sasha2]

Ну вот и мне казалось, (однако я не доказал) что имеет место тождество tg^5(x)-5tg^3(x)+5tg(x)=a*tg(bx)
Только вот какие это a и b, не получил.

[ИСН]

У Вас хороший глаз.
Я серьёзно.
(Только ещё было видно, конечно, что b=5, ибо степень пятая, и что это не тангенс, потому что у тангенса кратного аргумента вылезла бы какая-то хрень в знаменателе, когда разворачиваешь. Ну да это мелочи.)