Равенство коэффициента при производной нулю в СДУ

[Парджеттер]

Я думаю, что я туплю, но у меня такой вопрос.

Пусть есть система дифференциальных уравнений вида

$$ \left\{ \begin{array}{l} (1-f(t)) y'(t)=g_1 (t) x(t) + h_1(t) y(t) \\ (1-f(t)) x'(t)=g_2 (t) x(t) + h_2(t) y(t) \end{array} \right. $$

Все функции $f, g, h$ - периодичны с периодом $T$.

Существуют такие точки, в которых периодически $1-f(t)=0$. В этих точках получается, что оба уравнения становятся одинаковыми и из них следует $x(t)=y(t)$.

Что при этом можно сказать о решении системы в окрестности этих точек?

[shwedka]

Разумное ожидание, что решения уходят на бесконечность при приближении к точкам особенности. Либо все стремятся к нулю. То есть, вблизи этой точки существование, либо единственность, либо оба свойства исчезают. Рассмотрите модельный случай,
вида

$$ \left\{ \begin{array}{l} t y'(t)=g_1 x(t) + h_1 y(t) \\ tx'(t)=g_2 x(t) + h_2y(t) \end{array} \right. $$

в окрестности нуля.
Фундаментальная матрица решений имеет вид

$$t^G,$$

где $G$ -матрица коэффициентов.

[VoloCh]

Если пч уравнений поделить на $(1-f(t))$ получим линейную систему с периодическими коэффициентами $y'(t)=A(t)x(t)$ (в вашем примере $x$ --- двумерно. У вас еще при некоторых $t$ матрица $A$ стремится $\infty$. Даже если б не стримилось - и то ничего нельзя сказать. Для таких систем вопрос, например, об устойчивости решен в очень-очень жестких рамках (Есть статья Левина в УМН 60-х годов). Я даже формулировку вспомню, если надо. Но не слышал, чтобы там что-то улучшили.

[mihiv]

Можно искать решение системы в пределах одного периода в виде обобщенного степенного ряда,так как это делается ,например,для функций Бесселя (предположим,что $f(0)=1$):$x(t)=t^{\lambda }(a_0+a_1t+\cdots),y(t)=t^{\lambda}(b_0+b_1t+\cdots).$
Подставляя выражения для x и y в систему ДУ получим систему уравнений для определения коэффициентов $a_0,b_0$:

$$\left \{ \begin {array}{l} g_1(0)a_0+(h_1(0)+\lambda f'(0))b_0=0 \\ (g_2(0)+\lambda f'(0) )a_0+h_2(0)b_0=0 \end {array}\right .$$

Показатель степени $\lambda $ является корнем уравнения $f'(0))^2\lambda ^2+f'(0)(g_2(0)+h_1(0))\lambda -g_1(0)h_2(0)=0$