Надуваем сферу в гибком каркасе параллелепипеда

[Jarlaks]

Доброго времени суток.
Помогите пожалуйста найти решение следующей задачки:
Дан каркас параллелепипеда с ребрами фиксированной длины (например, a, b, c), но способными произвольно гнуться. В его центр помещается сдутая в точку сфера и надувается до предела: если надуем еще чуток - каркасик порвется.
Чему равен радиус надутой до предела сферы?

Прошу не писать просто какие-либо абстрактные соображения, т.к. у самого их хватает. Необходимо конкретное решение, дающее ответ.

Мои соображения:

Исходный параллелепипед со сторонами a, b и c.
Конечный со сторонами x, y и z.
Искомая сфера описана вокруг конечного параллелепипеда.
Центр сферы T.
Искомый радиус R.
Тогда $ R = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} / 2$

1)Рассмотрим T, ребро y и соответствующее ему кривое ребро b на сфере.
Получим треугольник. Нужный нам косинус равен: $\frac{(x^2 - y^2 + z^2)} { (x^2 + y^2 + z^2)}$.
Нужный угол - его арккосинус.
Этот угол, умноженный на R, равен b.

1)Рассмотрим T, ребро x и соответствующее ему кривое ребро a на сфере.
Получим треугольник. Нужный нам косинус равен: $\frac{(-x^2 + y^2 + z^2)} { (x^2 + y^2 + z^2)}$.
Нужный угол - его арккосинус.
Этот угол, умноженный на R, равен a.

1)Рассмотрим T, ребро z и соответствующее ему кривое ребро c на сфере.
Получим треугольник. Нужный нам косинус равен: $\frac{(x^2 + y^2 - z^2)} { (x^2 + y^2 + z^2)}$.
Нужный угол - его арккосинус.
Этот угол, умноженный на R, равен c.

Получается система из 4 уравнений:
1) $a = arccos(\frac{-x^2 + y^2 + z^2)} {x^2 + y^2 + z^2}) / R$
2) $b = arccos(\frac{x^2 - y^2 + z^2}{x^2 + y^2 + z^2}) / R$
3) $c = arccos(\frac{x^2 + y^2 - z^2} {x^2 + y^2 + z^2}) / R$
4) $R = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} / 2$
Нужно найти R.

[Toucan]

Чтобы не уехать в Карантин, приведите свои соображения по поводу решения задачи (тем более, что у Вас "у самого их хватает"). Без этого конкретных решений, да еще и дающих ответ, Вы здесь не получите.

[Sasha2]

А я вот вообще никогда не понимал таких задач.
С одной стороны какркас способен произвольно гнуться, а сдругой "чуть надушь - порвется". Что-то не срастается уже в условии.

[gris]

каркас из гибких нерастяжимых нитей. После надувания они расположатся по геодезическим. муторная задача по сферической геометрии. Хотя там симметрично всё, но тем не менее.

[ИСН]

И один хрен в итоге всё трансцендентно.

[gris]

3 уравнения 3 неизвестных, включая радиус.

[ИСН]

У меня 1 и 1, соответственно. Это. Отставим сферическую геометрию, посмотрим в обычной. 8 вершин как составляли параллелепипед, так и будут. Только стороны его (если мерять по прямой, сквозь шар) станут другие. Но их легко выразить через старые стороны и радиус. И он же вписан в ту сферу, так что - - -

[gris]

Ну да, через синусы половинок отношений половинок сторон к радиусу. Потом сумму квадратов приравнять к $4R^2$. Радиус в квадрате сократиться. Корень один, численно решается, а аналитически вряд ли. Перейти к двойным углам и сумму трёх косинусов посчитать? Так ли?

[Gravist]

Если стороны в вершинах обладают необходимыми и достаточными степенями свободы, то для прямоугольного просто. Чтобы "не порвать" - все углы параллелепипеда должны лежать на поверхности сферы. Расстояния от центра до всех углов должны быть равны R, и это будет ни что иное, как половина главной диагонали.
Т.о. задача сводится к "раздутию" произвольного параллелепипеда до прямоугольного - т.е. поворот, а затем - "додувание" до "укладки" всех сторон на поверхность сферы.
Линия, образованная диагоналями торцевых сторон (дуги) и дугами, образованными сторонами, будет окружностью, проходящей через центр сферы.
Её длина $ \L=2 \sqrt {a^2+b^2 } + 2c$.
Сл-но $R=\frac{\sqrt {a^2+b^2 } + c}{\pi}$.
Рисовать, к сожалению, не научился.

[ИСН]

gris, ну да, так, а толку?
Gravist, блестяще, теперь поверните его другим боком. У нас же все три стороны равноправны, нет?

[gris]

Для куба решается и ладно.

[Gravist]

ИСН в сообщении #301536 писал(а):

поверните его другим боком. У нас же все три стороны равноправны

Естественно.
1. Две малых диагонали торцов и две боковых образуют окружность
2. Две больших диагонали и две малые стороны образуют окружность (такую же)
3. Две больших диагонали и две малые стороны (другие) образуют окружность (такую же)

Нарисуйте, пожалуйста, кто-нибудь, чтоб не "на пальцах"

[Toucan]

Вернул из Карантина.

[Jarlaks]

gris, для куба (и правильного тетраэдра) решается в уме и исходя из симметрии.
ИСН, последнее время крутил следствие указанной выше системы уравнений: $cos(a R) + cos(b R) + cos(c R) = 1$
Как решать это уравнение - понятия не имею. Может Вы знаете. Можно ли попробовать перейти к комплексному виду? и работать с действительной частью: $Re(e^{i aR} + e^{i bR} + e^{i cR}) = 1$. Но это лишь соображение) что с этим дальше делать я пока не знаю)
Gravist, не стоит даже пробовать рисовать, т.к. ваше решение заведомо не правильно - ответы для частного случая - куба - не совпадают с правильным, который был получен мной двумя способами: $R = \frac{a}{arccos(\frac{1}{3})}$

[Gravist]

Jarlaks в сообщении #301595 писал(а):

Gravist, не стоит даже пробовать рисовать, т.к. ваше решение заведомо не правильно

Я непростительно ошибся, а ещё меня завёл

ИСН в сообщении #301536 писал(а):

Gravist, блестяще

Надо было сразу "по сопатке" - мол, неуч!