Интеграл от f(z).

[LynxGAV]

У всех проблемы разные.
350 раз уже в физике мне попадался такой интеграл(ьчик) или к нему сводящиеся

$$I = \int_{-\infty}^{\infty}e^{i\vec k\cdot \vec x}e^{-k^2a^2}}d^{3}k$$

,

$$\vec k, \vec x\in\mathbb R^3$$

.
Решала так:
В любом случае факторизовать, потом в куб.
1. В экспоненте выделить полный квадрат. Так делают первокурсники.
2. Надо решить такой интеграл. Чудно. Дополним контур до замкнутого (прямоугольный). По бокам по лемме Жордана (вообще-то лемма Жордана вроде для круга, если мне не изменяет память, но там и прямым вычислением можно) будет ноль. Вычетных точек нет. Исходный интеграл равен с минусом интегралу по вещественной оси, который известен.
(

$$I_a = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}$$

. Этот и подавно в пол. координатах считается. Любые подобные по параметру или х в дифференциал и по частям. 1 класс, 2 четверть.)
3. С конца. Зная ответ, знаем откуда можно плясать. Исходный, уже факторизованный, интеграл разбить на синус и косинус. Первый, очевидно, равен нулю. Второй можно получить, беря следующий

$$\oint\limits_c^{}e^{-z^2}dz$$

, контур тоже прямоугольный замкнутый.
4. Интеграл от косинуса по параметру.

Сегодня встретился вновь. Надоело повторяться. Подскажите что-то интересное человеку без мат. образования. Чтобы душа была спокойна.
Гадости не предлагать.
Накидала вариант4, вариант3 валялся без дела. Вдруг кому пригодится.

[незваный гость]

Я все-таки не рюхаю, в чем проблема. Шаг 1: разворачиваем оси так, что первая координата паралельна $\vec x$. После этого исходный интеграл распадется в произведение трех покоординатных - два тривиальных, один с косинусом. Величина каждого известна, чего голову-то ломать? Откуда величины - да хоть из справочника, главное, чтобы правильные.

$I = \int_{-\infty}^{\infty}e^{i\vec k\cdot \vec x}e^{-k^2a^2}} \rm{d}^{3}k = $ $\int_{-\infty}^{\infty}e^{i k_1 |x|}e^{-|k|^2a^2}} \rm{d}^{3}k = $ $\int_{-\infty}^{\infty}e^{i k_1 |x|}e^{-{k_1}^2a^2}} \rm{d}k_1 \ \int_{-\infty}^{\infty}e^{-{k_2}^2a^2}} \rm{d}k_2 \ \int_{-\infty}^{\infty}e^{-{k_3}^2a^2}} \rm{d}k_3 = $ $\left( \frac{\sqrt{\pi}}{a}e^{-\frac{|x|^2}{4 a^2}}\right) \left( \frac{\sqrt{\pi}}{a}\right)^2 = $ $ \frac{\pi^{3/2}}{a^3}e^{-\frac{|x|^2}{4 a^2}}$.

Строго говоря, исходный интеграл непосредственно разваливался на покоординатные. Поворот осей - это эстетика у меня такая .

P.S. В математике ценится первое решение, в Computer Science - лучшее.

[LynxGAV]

Не сказать, чтобы мне это не понравилось. Спасибо.

Особенно следующее.

Цитата:

Поворот осей - это эстетика у меня такая.

Присовокупим к уже имеющемуся. Сделаем частью своего.

Жаль только, что Вы не поняли зачем это надо. Жаль.

[незваный гость]

LynxGAV писал(а):

Жаль только, что Вы не поняли зачем это надо. Жаль.

"Двигаться дальше, // Как страшно двигаться дальше," (День Серебра)

Мне все время хочется двигаться дальше. Если на пути интеграл, подобрать его, и - дальше. Физическая задача, с этой точки зрения - куда интереснее. А тем более - в 350 раз. Вы ведь не студентам теорию интегрального исчисления объясняете. Там это вполне уместно. По мне, интеграл становиться интересен, только если я начинаю понимать, что интегралы этого типа я не беру, и мне надо бы технику подточить. А когда решаю другую задачу - как ни сделал, все хорошо. Как в заголовке у Леонида Ильича - "Цель иная".

[LynxGAV]

A как эту страницу уменьшить? Больно велика. Кажется, из-за Вашей формулы. У меня все маленькие.

С задачей это конечно был прикол. Не в интеграле дело. Да, и задача сама неинтересная.
Но подумайте, все возле одного крутится, а на него нашлось уже 5 решений.
На форуме сейчас 2 стоящих: 1. по названию автора "геометрические кольца" на теор.мех. и 2. задача Стефана на мат.физ.

С интегральным исчислением, как Вы знаете, у меня плохо. Вряд ли дадут такое преподавать.

[LynxGAV]

Расскажу вам байку о математиках. Одни из самых излюбленных задач у них - доказательство существования и единственности, ну, и вообще любые доказательства. Работа такая.
А физикам эти доказательства как то..один раз прочел, убедился, что не врут и хватит. Ну, принцип еще запомнил, на случай, если прийдется где-то применить кусок доказательства. И, пожалуй, главное - это условие теоремы и когда ее можно использовать. Например, надо применить преобразование Фурье для к.-нибудь функции. Формулы помню, ну еще проверю, сама функция удовл. или нет усл. Там вроде только должен существовать интеграл от модуля. Или не так? Вот как раз сейчас надо применять. А все остальное - по барабану. По словам одного математика, математика для физиков - тупая наука, в том смысле, что пишешь интеграл, подставляешь туда другой, а думать будешь, где ты его, и из каких соображений, обрежешь, чтобы он не расходился, чтобы чепуха не получилась. Математику, конечно, надо понимать.
Вы, незванный гость, правы в отношении того, что таблицы не зря существуют. Если их издают, то значит люди пользуются. Нет спроса, нет предложения. И пользуются научные работники, им идея важна, а не подсчет. Но хочу заметить была бы я в университете и сказала, этот табулированный. Мне бы так ответили.."Девушка, а не пришли ли вы случаем на уроки словесности? А не пошли бы вы случаем отсюда?"
И иногда не станется сесть и подумать и ручками все проделать.

[незваный гость]

А-а-а. Так Вам просто интересно обсудить возможные решения. Это-то и было не понятно. Обычный вопрос здесь, на форуме - увы - как решить, т.е. люди не знают что делать. Предложение обсудить решения (и, может, найти лучшее) встречаются куда реже. Тогда - и вовсе, солнышко светит ясно в небе голубом.

[Dan_Te]

А вот мне подынтегральная функция что-то напоминает... А именно, преобразование Фурье от плотности трехмерного нормально распределенного вектора, которое обязательно даст нам характеристическую функцию этого вектора, надо только отнормировать. В результате получим, что интеграл равен
$(\sqrt{2\pi})^3 \frac{1}{(a\sqrt 2)^3}\varphi\left(\frac{\mathbf x}{a\sqrt 2}\right),\quad \mbox{где}\quad\varphi({\mathbf x})=e^{-\frac{\mathbf{x}^2}{2}}