числовые последовательности

[amonrah]

Здравствуйте многоуважаемые!,

решил открыть для себя такой раздел математики, как числовые последовательности, рекуррентные функции, геометрическая прогрессия итд.


Пока остановился на самом лёгком, из учебника я понял, что такое числовые последовательности. Был ознакомлен с двумя способами задания такой последовательности:

1) через общий член, пример: $a_{n}=n^2+4$
2) через рекуррентное соотношения, например если известны два первых члена последовательности, пример:$a_{n+2}=a_{n+1}-a_{n}$

Решая упражнения по теме я застрял вот на этом задании:

"Найдите какую-нибудь формулу для последовательности: 1, 7, 31, 127, 511...."

Так понимаю, эту последовательность легче задать через рекурретнную функцию, зная её предидущие члены, нежели через общий член формулой, но вот как?

У кого какие советы, методы? Как давалась вам эта тема?

[ewert]

amonrah в сообщении #300525 писал(а):

"Найдите какую-нибудь формулу для последовательности: 1, 7, 31, 127, 511...."

Попробуйте повычитать соседние члены друг из дружки -- что общего будет у получившейся последовательности?...

А вообще такие задачки можно решать только угадыванием. Здесь угадывается сразу, если Вы помните последовательность степеней двойки.

[amonrah]

Цитата:

Здесь угадывается сразу, если Вы помните последовательность степеней двойки.

$2^n$ = 2, 4, 8, 32, 64, 128...

То есть совпадают числа, 2-1, 8-1, 32-1, 128-1, 512-1

значит можно задать так: $a_{n}= 2^{n+1}-1$ $n= 0, \pm1 \pm2...$

Вот только может ли "н" быть ноль?

[gris]

Однако они через один там идут.
И обычно последовательность нумеруется натуральными числами.
Ибо иногда так и определяется как функция натурального аргумента.

[amonrah]

gris в сообщении #300553 писал(а):

Однако они через один там идут.
И обычно последовательность нумеруется натуральными числами.
Ибо иногда так и определяется как функция натурального аргумента.

Ну а ноль не является натуральным числом? То-есть выходит та, формула которую я задал не верна?

[gris]

Подставьте. Она неверна! (как театрально звучит)
Ни ноль, ни -1, ни -2 не натуральные числа.
Но суть в том, что числа там через один.
2-1; 4-1; 8-1; 16-1; 32-1....

[amonrah]

Ой, чего то я с минусом и правда перегнул... С нулём тоже вроде понятно $a_{0}$ не существует.

понятно, но без нуля как то не вижу как добиться этого, "через один"

-- Вс мар 21, 2010 20:55:27 --

а если так?

$a_{n+1}= 2^{n+1}-1$ $ \|n= 0, +1 +2...$

-- Вс мар 21, 2010 20:59:24 --

Тьфу ты, тоже не то!!!...

[gris]

Надо не так рассуждать. Вот смотрите

$$\begin {array}{ccccc}1&7&31&127&...\\\\2-1&8-1&32-1&128-1&...\\\\2^1-1&2^3-1&2^5-1&2^7-1&...\\\\2^{2-1}-1&2^{4-1}-1& 2^{6-1}-1&2^{8-1}-1&...\\\\\quad2^{2\cdot 1-1}-1\quad&\quad2^{2\cdot 2-1}-1\quad&\quad 2^{2\cdot3-1}-1\quad&\quad2^{2\cdot4-1}-1\quad&\quad...\\\\a_1&a_2&a_3&a_4&...\end {array}$$

[jetyb]

amonrah в сообщении #300525 писал(а):

У кого какие советы, методы? Как давалась вам эта тема?

Если за полминуты не замечаешь закономерности, то берешь любое число $x$, проводишь через точки $(1;a_1),\ldots,(n;a_n),(n+1;x)$ интерполяционный многочлен и предъявляешь его как искомое правило.

[ewert]

amonrah в сообщении #300570 писал(а):

Тьфу ты, тоже не то!!!...

попробуйте подумать, через сколько они идут. И формализовать.

[amonrah]

Большое спасибо за подсказки!

ЗЫ: вот с интерполяцией вообще пока не знаком, но спасибо за за предложение

[arqady]

amonrah в сообщении #300525 писал(а):

"Найдите какую-нибудь формулу для последовательности: 1, 7, 31, 127, 511...."

По-моему весь этот тип задач абсолютно бессмысленен.
Интерполяционный многочлен Лагранжа даёт ответ в случае с формулой.
Если же просят, например, продолжить здесь последовательность, угадав закономерность, то можно продолжить так:
1, 7, 31, 127, 511, 0.
Закономерность: 0 - это тоже число, как и все предыдущие члены последовательности.
Можно и так:
1, 7, 31, 127, 511, $\Delta$.
Закономерность: $\Delta$ это геометричесая фигура, как и предыдущие члены последовательности.
Весь этот тип задач, имхо, культивирует неправильное мышление

[ewert]

arqady в сообщении #300692 писал(а):

Интерполяционный многочлен Лагранжа даёт ответ в случае с формулой.

да ничего он здесь не даёт, это была явно просто шутка.

arqady в сообщении #300692 писал(а):

Весь этот тип задач, имхо, культивирует неправильное мышление

согласен

[Zealint]

amonrah писал(а):

У кого какие советы, методы? Как давалась вам эта тема?

Это одна из моих любимых тем. Для целочисленных последовательностей существует целая энциклопедия - OEIS, в которой почти любая последовательность, имеющая известный прикладной смысл (хотя не обязательно), уже записана. Например, ваша последовательность имеет там номер A083420.

Угадывать последовательность можно многими способами. Но для этого нужно знать, какую природу она имеет. Скажем, если для Вашей последовательности точно известно, что она удовлетворяет линейному однородному рекуррентному соотношению второго порядка, то надо указать всего 4 первых элемента, чтобы получить $a_n = 5a_{n-1}-4a_{n-2}$ (посчитано в Maple 13 с помощью функции rgf_findrecur). Можно также получить производящую функцию для неё (Maple 13 - guessgf):

$$ \frac{1+2z}{1-5z+4z^2} $$

Сейчас мне приходится работать с последовательностями, у которых порядок соотношения несколько сотен и упростить никак нельзя. Такой тип задач очень важен в некоторых приложениях физики и математики. Только там не просто дана последовательность, следующий член которой может быть чем угодно, а заранее известна природа её происхождения, поэтому такое слово как "угадывание" приобретает там строгий смысл.

-- Пн мар 22, 2010 14:10:11 --

Забыл добавить, что по рекуррентному соотношению часто (в таких простых примерах) можно получить формулу; тот же Maple 13 выдает с помощью функции rsolve ответ: $a_n = 2\cdot 4^n - 1=2^{2n+1}-1$. А так, задача, конечно, устная. Я просто хотел показать, что Maple иногда тоже умеет такие задачи решать. Пользуйтесь.

[Профессор Снэйп]

Zealint в сообщении #300824 писал(а):

Для целочисленных последовательностей существует целая энциклопедия - OEIS, в которой почти любая последовательность, имеющая известный прикладной смысл (хотя не обязательно), уже записана. Например, ваша последовательность имеет там номер A083420.

Ага :) Подобные простые последовательности она "угадывает". Если с ходу не видишь закон, можно просто набрать несколько членов и посмотреть на формулу, которую OEIS выдаст (ещё один способ решения подобного сорта задач).

-- Пн мар 22, 2010 17:13:08 --

Вот, кстати, ещё вариант (помимо основного).