Предел

[Ylyasha]

Не получаются пределы $\[ \begin{array}{l} \mathop {1)\lim }\limits_{x \to 0} (\frac{1}{{x \cdot \sin x}} - \frac{1}{{x^2 }}); \\ 2)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (\frac{5}{{2 + \sqrt {9 + x} }})^{\frac{1}{{\sin x}}} ; \\ \end{array} \]$
Второй предел$\[ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (\frac{5}{{2 + \sqrt {9 + x} }})^{\frac{1}{{\sin x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {(1 + \frac{{3 + \sqrt {9 + x} }}{{2 + \sqrt {9 + x} }})^{\frac{{2 + \sqrt {9 + x} }}{{3 + \sqrt {9 + x} }}} } \right)^{\frac{1}{{\sin x}} \cdot \frac{{3 + \sqrt {9 + x} }}{{2 + \sqrt {9 + x} }}} = e^? ; \]$.Должно получиться $\[ e^{ - \frac{1}{{30}}} \]$

[ИСН]

В первом приведите их к общему знаменателю. Второй да, е-образный, но в преобразованиях сразу какая-то путаница.

[gris]

Во втором примере минус вместо плюса после тройки. Подход правильный. В первом - к общему знаменателю. Потом ПЗП

[ewert]

gris в сообщении #300330 писал(а):

В первом - к общему знаменателю. Потом ПЗП

плюс потом Лопиталь, куда ж без него, родимого

[Ylyasha]

Вот что получется $\[ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x - \sin x}}{{x^2 \cdot \sin x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x \cdot (1 - \frac{{\sin x}}{x})}}{{x^2 \cdot \sin x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \frac{{\sin x}}{x}}}{{x \cdot \sin x}} = ? \]$.
А вот со вторым $\[ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (\frac{5}{{2 + \sqrt {9 + x} }})^{\frac{1}{{\sin x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {(1 + \frac{{3 - \sqrt {9 + x} }}{{2 + \sqrt {9 + x} }})^{\frac{{2 + \sqrt {9 + x} }}{{3 - \sqrt {9 + x} }}} } \right)^{\frac{1}{{\sin x}} \cdot \frac{{3 - \sqrt {9 + x} }}{{2 + \sqrt {9 + x} }}} = e^? ; \]$.
Что мне сделать во с этой степенью $\[ \frac{1}{{\sin x}} \cdot \frac{{3 - \sqrt {9 + x} }}{{2 + \sqrt {9 + x} }} \]$

[Padawan]

а $\sin x=x-x^3/6+o(x^4)$ не проходили еще?

[gris]

ewert, лопиталить $\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin x}x$ нельзя, ибо этот предел использовался для вычисления производной от синуса.
Ylyasha, домножьте числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю (вместо минуса плюс)

[ewert]

Padawan в сообщении #300409 писал(а):

а $\sin x=x-x^3/6+o(x^4)$ не проходили еще?

Это проходится гораздо позже Лопиталя.

(Кстати, замените четвёрку -- некрасиво смотрится. Или тройка, или пятёрка с большим "О".)

-- Вс мар 21, 2010 17:20:01 --

gris в сообщении #300410 писал(а):

ewert, лопиталить $\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin x}x$ нельзя, ибо этот предел использовался для вычисления производной от синуса.

а там вовсе не его предлагалось лопиталить, а $\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{1-\sin x}{x^3}$

[Ylyasha]

Если использовать$ \[ \sin x = x - \frac{{x^3 }}{6} \]$. (Как это получить?), то всё получается, т.е.
$\[ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x - \sin x}}{{x^2 \cdot \sin x}} = \frac{1}{6} \]$

[ewert]

Ylyasha в сообщении #300418 писал(а):

(Как это получить?)

Это называется формулой Тейлора. Получают её от лектора или из учебника.

[Ylyasha]

Большое спасибо. Формулу Тэйлора для sin x нашла в Intertete.