Инвариантная метрика (относительно аффинных преобразований)

[Viatcheslav Bykov]

Как построить инвариантную относительно аффинных преобразований метрику в пространстве функций?

[Padawan]

1) Какое пространство функций Вас интересует? 2) Что такое аффинное преобразование в этом пространстве?

[ewert]

3). Относительно всех-всех аффинных?... даже растяжений?...

[Viatcheslav Bykov]

1): Скажем интегрируемых

2) + 3): Угу, пусть r - такая метрика тогда должно выполпяться для любых a, b (a не равно нолю):

r(f,g)=r(af+b,ag+b)

Так же мне интересен случай f=f(x), g=g(x): y->ax+b, f'=f(y), g'=g(y):

r(f,g)=r(f',g')

Не уверен 100 % что это возможно... может кто чего конкретное подскажет.

[terminator-II]

$r(0, y)=r(0,\lambda y)$ и что будет при $\lambda\to 0$? т.е. если такая метрика и существует, то топология, задаваемая этой метрикой, с линейной структурой не связана,во-всяком случае в стандартном понимании.

[ewert]

terminator-II в сообщении #300512 писал(а):

$r(0, y)=r(0,\lambda y)$ и что будет при $\lambda\to 0$? т.е. если такая метрика и существует,

Существует: расстояние между двумя любыми разными точками равно одному и тому же числу, а между одинаковыми -- естественно, нулю. Это -- метрика. А никакой другой, кажется, и не существует (достаточно рассмотреть двумерный случай, но додумывать лень).

И при чём тут конкретно функции?...

[Padawan]

Интересно, а кроме дискретной метрики можно ввести что-нибудь более нетривиальное. Но во всяком случаем на продпространстве констант метрика дискретна, так как любую пару констант можно перевести в любую другую пару аффинным преобразованием.

[Viatcheslav Bykov]

$r(0, y)=r(0,\lambda y)$ и что будет при $\lambda\to 0$? т.е. если такая метрика и существует, то топология, задаваемая этой метрикой, с линейной структурой не связана,во-всяком случае в стандартном понимании...

В этом и вопрос! "Если такая метрика существует?"
Пусть дополнительно $1/K< \lambda (или а) <K)$, $K>>1$

-- Пн мар 22, 2010 10:34:48 --

Цитата:

Но во всяком случаем на продпространстве констант метрика дискретна

Интересно бы на неё "посмотреть"...

-- Пн мар 22, 2010 10:47:04 --

Цитата:

И при чём тут конкретно функции?...

Функции при том что "расстояния" я хотел бы измерять между ними. Может чего в моей "формулировке" не хватает, хочбы кто успокоил :_), или я форумом ошибся... рекоммендовали вроде...

[terminator-II]

ewert в сообщении #300521 писал(а):

А никакой другой, кажется, и не существует

что-то мне это неочевидно

[Padawan]

Что-то типа

$$\int\limits_a^b\Big|\ln|\{f(x)-Af\}-\{g(x)-Ag\}|-A\ln|\{f(x)-Af\}-\{g(x)-Ag\}|\Big|\,dx+\delta(Af,Ag),$$

где $Af=\frac{1}{b-a}\int\limits_a^b f(x)\, dx$, и $\delta(x,y)$ = 1, если $x\neq y$ и = 0, если $x=y$?

P.S. Не уверен, что подходит, но что-то в этом роде пытаюсь придумать

[paha]

поищите в википедии Инвариант Шварца, он же шварциан... может и поможет)