Неопределённый интеграл

[Aden]

Как решать неопределённый интеграл $\[ \int {\frac{{\left( {x^2 - 3} \right)}}{{x^3 + 5x^2 + 6}}} dx \]$

[ИСН]

Попейте хлеба, успокойтесь. А берётся он так же, как от всех рациональных функций.

[Aden]

Поясните пожалуйста.

[ewert]

На школьном (в смысле стандартно-учебном) уровне он не берётся. В том смысле, что корни знаменателя -- плохие. Не искать же их по карданам, в самом деле; это -- откровенно не комильфо.

Другой вопрос, если б там стояло "$-5x^2$". Тогда минус единичный корень моментально угадывается; а дальше, как обычно -- разложением знаменателя на множители с помощью деления; а дальше, как обычно -- разложением на простейшие.

(и, между кстати: обратите внимание на мою подпись; изъясняться лучше всё-таки по возможности грамотно)

[Mitrius_Math]

Цитата:

Как решать?

Это невозможно, как справедливо сказано в подписи у одного участника форума. Интегралы не решают, а вычисляют или "берут".

Очевидно, что многочлен, стоящий в знаменателе, рациональных корней не имеет. Нужно найти его корни (методом Кардано) и представить в виде $(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$, если все корни вещественные, или в виде $(x-x_0)(x^2+px+q)$, где $x^2+px+q$ имеет пару комплексно сопряжённых корней. Дальше раскладывать на простейшие дроби.

-- Вс мар 21, 2010 00:29:46 --

Пока набирал сообщение, появился тот самый участник.

[ewert]

(Оффтоп)

Mitrius_Math в сообщении #300035 писал(а):

, появился тот самый участник.

ну мы тут друг у друга прям на ходу подмётки рвём

[Aden]

Если учесть, что знаменатель $\[ {x^3 - 5x^2 - 6} \]$
, то всё получается. Разложение $\[ x^3 - 5x^2 - 6 = (x - 3)(x^2 + 2) \]$

-- Сб мар 20, 2010 23:42:33 --

Нет не получается. Сделал ошибку.

[ewert]

Aden в сообщении #300041 писал(а):

Если учесть, что знаменатель $\[ {x^3 - 5x^2 - 6} \]$
, то всё получается. Разложение $\[ x^3 - 5x^2 - 6 = (x - 3)(x^2 + 2) \]$

-- Сб мар 20, 2010 23:42:33 --

Нет не получается. Сделал ошибку.

Ага. Получается не при "минус шесть", а при "плюс шесть". И получается немножко не настолько банальным.

[maxmatem]

Aden. воспользуйтесь тем что знаменатель имеет вид $\[{x^3} - 5{x^2} + 6\] $, тогда разложите его на множители и представить подинтегральное выражение в виде суммы элементарных дробей(методом неопределённых коэффициентов !

[Aden]

$\[ \begin{array}{l} x^3 - 5x^2 + 6 = (x + 1)(x^2 - 6x + 6); \\ \int {\frac{{\left( {x^2 - 3} \right)}}{{x^3 - 5x^2 - 6}}} dx = \ln (x + 1) + 6 \cdot \ln (x^2 - 6x + 6) + C; \\ \end{array} \] $.Спасибо

[ewert]

Да пожалуйста. Только разложили на простейшие Вы вот -- откровенно неверно. Попытайтесь продифференцировать обе части.

[Aden]

Разлаживаю таким образом:
$\[ \begin{array}{l} \int {\frac{{x^2 - 3}}{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x^2 - 6x + 6} \right)}}} dx = \frac{A}{{x + 1}} + \frac{{B \cdot x + C}}{{x^2 - 6x + 6}}; \\ \left\{ \begin{array}{l} A + B = 1; \\ - 6A + B + C = 0; \\ 6A + C = - 3; \\ \end{array} \right. \\ A = - \frac{2}{{13}};B = \frac{{15}}{{13}};C = - \frac{{27}}{{13}}; \\ \end{array} \] $

[Mitrius_Math]

(Оффтоп)

Цитата:

Разлаживаю

Какой ужас!