Задача об элементе длины выпуклого множества.

[Atake]

Эта задача возникла при чтении книги Кендалла Морана "Геометрические вероятности". Там на это ссылаются, как на известный факт.

Рассмотрим плоскость $\mathbb{R}^2$, с декартовыми координатами $x_1,x_2$. Пусть $U$ - строго выпуклое множество с гдадкой границей $\partial U$ (на границе нет линейных участков). Возьмем внутреннюю точку $x\in U$. Для каждого угла $\alpha$ обозначим символом $T_\alpha$ касательную к $U$, такую, что она будет перпендикулярна лучу выходящему из $x$ под углом $\alpha$ к оси $x_1$.

Рассмотрим функцию $H:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, которая сопоставляет каждому углу $\alpha$ расстояние $H(\alpha)$ от точки $x$ до касательной $T_{\alpha}$. Также каждому $\alpha$ будем ставить в соответствие точку $x_{\alpha}$ на границе $\partial U$, где каcательная $T_\alpha$ касается границы $\partial U$. Таким образом каждому углу $\triangle\alpha = \alpha_2 - \alpha_1 $ можно поставить в соответствие некоторую длину $\triangle l$ дуги границы $\partial U$, соединяющей точки $x_{\alpha_1}$ и $x_{\alpha_1}$.

В книге утверждается, что элемент длины границы выпуклого множества $U$ выражается через приращение угла таким образом:
$dl=H(\alpha)d\alpha.$

Почему это верно, и можно ли это обобщить на случаи большей размерности? Например для трехмерного случая:
$ds=H(\alpha,\beta)d\alpha d\beta$, где $ds$ - элемент площади, $H(\alpha,\beta)$ - расстояние до касательной плоскости, ортогональной направлению, задаваемому углами $\alpha,\beta$ к примеру в сферической системе координат.

[VoloCh]

Я правильно понял, что все буквы в вашем посте, начиная с 5-го предложения должны зависеть от выбранной точки $x$ из int$(U)$? И в конце получится $d\,l(x)=H(x;\alpha)\,d\alpha$. Так? Да, и кстати $x_{\alpha}(x)$ может быть не определена. Ну, то есть, например, если луч из точки $x$ под углом $\alpha$ к одной оси не имеет общих точек с границей.

[Atake]

Да, Вы правильно поняли, все остальные величины действительно зависят от этой фиксированной точки $x$. И я забыл добавить важное условие:
граница $\partial U$ является замкнутой, то есть множество $U$ ограниченное.

На другом форуме мне, кстати, сказали:

"Это неверно. Потому что элемент длины равен $dl=Rd\alpha$, где $R$ это радиус кривизны. А радиус кривизны не равен $H$."

Я пока это не проверил, но на тот случай, если это всё же так, модифицируем задачу, чтобы, хотя бы, получить тот же конечный результат, что и в книге:

Верно ли, что длина $L=\int dl$ границы $\partial U$ этого выпуклого множества $U$ может быть выражена так: $L = \int^{2\pi}_0 H(\alpha)d\alpha$ ?

[paha]

Конечно, исходное равенство (про длину дуги) верно только в когомологиях:)
Именно, при изменении начальной точки $x\mapsto x'$ форма $H\,{\rm d}\alpha$ меняется на когомологичную:

$$ H_x(\alpha)\,{\rm d}\alpha=H_{x'}(\alpha)\,{\rm d}\alpha+{\rm d}f(\alpha). $$

Atake в сообщении #299949 писал(а):

Также каждому $\alpha$ будем ставить в соответствие точку $x_{\alpha}$ на границе $\partial U$, где каcательная $T_\alpha$ касается границы $\partial U$

Поместим начало координат в нашу точку $x\in U$. Пусть кривая задается вектор-функцией $r(\alpha)$($=x_\alpha$ в обозначениях топикастера). Если $v(\alpha),n(\alpha)$ -- базис Френе в точке $r(\alpha)$, то $r(\alpha)=Av-Hn$ ($A=(r,v)$ -- некоторая функция).
Возьмем производную этого равенства по $\alpha$ (далее штрихами обозначаются производные по $\alpha$):

$$ r'=A'v+Av'-H'n-Hn'. $$

Согласно формулам Френе и тому, что (как справедливо было замечено выше) $d\alpha/d l=k$

$$ r'=Rv,\quad v'=n,\quad n'=-v. $$

Таким образом

$$ Rv=(A'+H)v+(A-H')n, $$

откуда получим уравнение

$$ H''+H=R. $$

Очевидно, что

$$ \oint H{\rm d}\alpha=\oint R{\rm d}\alpha=\oint {\rm d}l. $$

[Atake]

Спасибо за решение!

А почему всё-таки верна формула: $dl=Rd\alpha$. В какой не слишком мудрёной книжке про это можно найти? И про комологии тоже.

И еще остался вопрос: А верно ли аналогичное для случаев большей размерности, пусть даже с некоторыми коэффициентами? Например в трехмерном случае: $\int\int\limits_{\partial U} H(x,\alpha,\beta)d\alpha d\beta = S$, где $S$ - площадь поверхности $\partial U$ - границы строго выпуклого тела $U$, где $\alpha, \beta$ - параметризующие углы.

[paha]

формулу эту легко из определения кривизны вывести, в некоторых книжках ее ПРИНИМАЮТ за определение кривизны: скорость поворота касательного вектора
эта формула есть, например, в задачнике гюнтера-кузьмина (первый том)... и у погорелова в дифгеометрии есть, наверное

про когомологии я для красного словца -- все верно, но они тут ни при чем

Ваша формула для площади неправильна по размерности

конечно, аналог есть... попробуйте сами найти