Гипотеза Пуанкаре и доказательство

[e7e5]

Кто-нибудь может "на пальцах" пояснить смысл утверждения, а также
в чем смысл ( идея) доказательства Г. Перельмана ?

"Всякое односвязное компактное трехмерное многообразие без края гомеоморфно трехмерной сфере".

[Padawan]

Что такое трехмерное многообразие без края представляете? - это некоторая трехмерная поверхность, у любой точки которой найдется окрестность, гомеоморфная трехмерному шару.

Односвязная - значит все гомотопические группы тривиальны, т.е. любую кривую, гомеоморфную окружности, и любую поверхность, гомеоморфную двумерной сфере, можно непрерывно стянуть в точку. Ну еще оно связным должно быть (по умолчанию предполагается).

[paha]

Перельман использавал идею Гамильтона (R.S.Hamilton, Three-manifolds with positive Ricci curvature,J. Differential Geometry, 17 (1982),255-306).

Смысл в следующем: на трехмерном многообразии $M$ рассматривается произвольная риманова метрика $g_0$ (симметрический 2-тензор) и анализируется эволюционное уравнение
$\partial g/\partial t=-2{\rm Ric}(g)$ с начальным условием $g(x,t)=g_0(x)$, где ${\rm Ric}(g)$ -- тензор Риччи метрики $g$. После сложных манипуляций, перенормировок и т.д. (сам я, конечно, ничего в этом не понимаю) доказывается, что в случае односвязного замкнутого многообразия $M$ имеется семейство метрик, сходящееся к метрике с близкими к единице секционными кривизнами, откуда следует, что $M$ диффеоморфно сфере.

[JMH]

Хорошая статья со ссылками на оригинальные работы находится здесь: http://lenta.ru/articles/2010/03/19/perelman/

[e7e5]

Padawan в сообщении #299547 писал(а):

...т.е. любую кривую, гомеоморфную окружности...

Могли бы вы привести примеры известных плоских кривых, гомеоморфных ( и нет) окружности?
Возможно так:
например циклоидальные кривые, кардиоида, астроида, овалы Декарта - гомеоморфны окружности?

а с другой стороны
Например спираль Архимеда, логарифмическая?

или Кривые Персея?

[paha]

e7e5 в сообщении #299657 писал(а):

например циклоидальные кривые, кардиоида, астроида, овалы Декарта - гомеоморфны окружности?

а с другой стороны
Например спираль Архимеда, логарифмическая?

или Кривые Персея?

Тут зоопарк этот ни при чем. Речь идет о непрерывных образах окружности (м.б. с самопересечениями, т.е. не обязательно гомеоморфных $S^1$). Точнее:
$M$ называется односвязным, если (все отображения подразумеваются непрерывными)

$$ \forall f:S^1\to M\quad\exists F:D^2\to M:\quad F|_{\partial D^2}=f, $$

т.е. любая замкнутая кривая затягивается диском.

Почитайте ЛЮБУЮ книжку по топологии... например, чудесную книгу Стинрод Н. Чинн У., Первые понятия топологии, 1967

[paha]

Вот и институт Клэя разродился PR-ом... пиарка Prize for Resolution of the Poincaré Conjecture Awarded to Dr. Grigoriy Perelman от 18 марта с.г. тут: http://www.claymath.org/poincare/index.html

так сказать "сим гадом"... т.е. тока счас hereby awards