Помогите классифицировать матрицу

[sergey2233]

Добрый день всем
Помогите, пожалуйста определить к какому классу матриц принадлежит матрица, которая отвечает следующим условиям:
А - квадратная вещественная матрица

$A=A^{-1}$

Тогда справедливо следующее
$A*A=A*A^{-1}=A^{-1}*A=A^{-1}*A^{-1}=I$

При чем $A^{-1} \not = A^{T}; A*A^{T} \not = I$

Как правильно называется такая матрица $A=A^{-1}$?

[Mitrius_Math]

http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics/algebra.htm - Гантмахер, "Теория матриц". Может, там что-то есть.

[Полосин]

Если я правильно понял, то задача тесно связана со следующей: описать все матрицы, такие, что $A^2=I$. Жорданова форма (ее вещественный аналог) должна помочь.

[sergey2233]

В книге Гантмахер, "Теория матриц" нет описания такой матрицы.

Посмотрел Жарданову форму (ее вещественный аналог) и не нашел там ни одной записи похожей на $A^{2}=I$

Проблема не в описании или поиске таких матриц (-это я без особых усилий могу сделать), а в том как они правильно по научному называются ($A=A^{-1}$). Не хотелось бы их назвать по своиму на международной конференции и попасть в просак из-за того, что я их назвал по своему в то время, как им в науке уже дано название.

Без особых усилий можно найти такую матрицу малого порядка:

$ A = \left( \begin{array}{сcc} -3 & -2 & -2 \\\ 2 & 1 & 2 \\\ 2 & 2 & 1 \end{array} \right)$
$A = A^{-1}; A^{2} = I; A^{-1} \not = A^{T}; A*A^{T} \not = I$
$det(A) = 1$

[firex]

Я кажется помню, это 41.6 и 41.7 из задачника Кострикина. Недавно разбирали на семинаре геометрический смысл.
Насколько я помню здесь можно обойтись без ЖНФ, представив что есть некий оператор заданный этой матрицей, предположим у него есть собственные значения, тогда подействовав на собственный вектор квадратом этого оператора : $ A^2 (v) = v = \lambda^2 v$ получим что собственные значения $ \lambda = \pm 1 $ и тогда исходное пр-во $ V = V_1 \oplus V_{-1} $. То есть у нас любой вектор раскладывается в два слагаемых одно из первого подпр-ва другое из второго, оператор не изменяет первое слагаемое, а другого меняет знак, то есть это типа - отражение относительно первого подпр-ва ... Ну и операторы и их матрицы - наверное операторы отражения, матрицы отражения ...

[sergey2233]

Я уже перерыл кучу книг, но нигде не упоминается о существовании таких матриц как $A = A^{-1}$, при том что $A^{2}=I; A^{-1} \not = A^{T} ; A*A^{T} \not = I$. Даже нигде не видел примера такой матрицы, которая подобна той, что я привел в предедущем посту.
Это не симметричные матрицы, не унитарные, не эрмитовые, не Жордановские, не матрицы отражения - так что же это за матрицы такие

Тажке это не могут быть простые матрицы - так как они обладают существенными свойствами, которые отличаются от свойств других представителей класса матриц.

Может кто-то знает как такие матрицы $A=A^{-1}$ правильно по научному называются ?????

[gris]

По англицки involution. Но то ли сама матрица, то ли соответствующее преобразование, не помню. Лучше уточнить. Наверное корректнее involution matrix
Они получаются из elementary, но как? Зашибло...

[Профессор Снэйп]

Не, ну что тут очевидно с ходу...

Если $A^2 = E$, то

1) Все собственные значения матрицы (в том числе и комплексные) равны $1$ или $-1$
2) При приведении матрицы к жордановой форме каждая жорданова клетка имеет размер $1$.

Другими словами, это матрицы, подобные диагональным, у которых по главной диагонали стоят единицы и минус единицы.

-- Чт мар 18, 2010 12:43:38 --

Хотя насчёт второго пункта что-то стал не уверен...

[sergey2233]

Спасибо
Это инвалютивный класс матриц (involutory matrix)

[Профессор Снэйп]

Вот эта матрица:

sergey2233 в сообщении #298808 писал(а):

$ A = \left( \begin{array}{сcc} -3 & -2 & -2 \\\ 2 & 1 & 2 \\\ 2 & 2 & 1 \end{array} \right)$

Какая у неё жорданова форма?

Матпакета никакого не стоит, а ручками считать лень. Характеристический многочлен получился равным $\lambda^3 - \lambda^2 - 7\lambda + 1$. Явно где-то ошибся в выкладках

[sergey2233]

Есть у меня мат пакет

Мне не нужно считать жорданову форму - это не жордановы матрицы

Посчитайте обратную матрицу и посмотрите чему она будет равна - вы удивитесь $A=A^{-1}$

Зачем мне считать жорданову форму? - я без нее спокойно живу и обхожусь и могу строить матрицы $A=A^{-1}$ целыми пачками (миллионы и больше), при этом размер этих матриц любой, также числа внутри матрицы могу менять. При всем при этом, эти матрицы не будут содержать НИ ОДНОГО НУЛЯ.

[Профессор Снэйп]

sergey2233 в сообщении #298947 писал(а):

Мне не нужно считать жорданову форму

Да это понятно, что Вам не нужно. Мне нужно!

[firex]

Цитата:

Какая у неё жорданова форма?

У нее собственные значения, как и должны быть $\pm 1$, двухкратный -1 и однократный 1, поэтому понятно какая жорданова форма ... У Вас в характеристическом многочлене коэффициент уже при \lambda ^2 неправильный, там должен быть минус трек матрицы ...

Цитата:

Зачем мне считать жорданову форму? - я без нее спокойно живу и обхожусь и могу строить матрицы $A=A^{-1}$ целыми пачками (миллионы и больше), при этом размер этих матриц любой, также числа внутри матрицы могу менять. При всем при этом, эти матрицы не будут содержать НИ ОДНОГО НУЛЯ.

Я тоже могу.