О матрицах и полиномах

[Sasha2]

Интересно, а существует ли такой класс невырожденных квадратных матриц, обладающий следующим свойством:
Если мы возьмем произвольный столбец свободных членов и рассмотрим соответствующую систему линейных уравнений, решим ее и запишем решение. Затем переставим произвольным образом элементы этого свободного столбца и снова решим и так все n факториал раз.
Спрашивается могут ли существовать такие матрицы, что всякий раз мы получали решение, состоящее из одних и тех же n чисел, может быть взятых в другом порядке.

P.S. Указанное сваойство должно еще выполняться для произвольного столбца свободных членов.

Понятно, что этот вопрос имеет отношение к решение уравнения n-й степени.

[Sasha2]

И еще один вопрос вдогон.
А может ли решение полинома n-й степени (во всех перестановках) быть решением одной совместной, но неопределенной системы линейных уравнений? То есть все n! вариантов должны быть решениями. Интересно может это быть или нет?

[MMyaf]

1)$\alpha\times E_n, \alpha\times A_n$, где E_n- единичная матрица, А_n матрица, у которой на побочной диагонали стоят 1, а на всех остальных местах 0, а \alpha\in Q. Ответ - могут.

[Sasha2]

MMyaf писал(а):

1)$\alpha\times E_n, \alpha\times A_n$, где E_n- единичная матрица, А_n матрица, у которой на побочной диагонали стоят 1, а на всех остальных местах 0, а \alpha\in Q. Ответ - могут.

Вот хотелось бы узнать, есть ли кроме таковой (ну разумеется с точностью до постоянного множителя)

[Someone]

MMyaf писал(а):

1)$\alpha\times E_n, \alpha\times A_n$, где E_n- единичная матрица, А_n матрица, у которой на побочной диагонали стоят 1, а на всех остальных местах 0, а \alpha\in Q. Ответ - могут.

Дополню: $\alpha P_n$, где $P_n$ - матрица перестановки, то есть, такая матрица, которая в каждой строке и каждом столбце содержит одну единицу, а все остальные элементы равны нулю.

[Sasha2]

Ну это тривиальные случаи. Для них элементы матрицы (ненулевые) или свободные члены должны быть корнями уравнения.
Меня терзают смутные сомнения, что может быть имеется матрица, обладающая такими свойствами, все элементы которой отличны от нуля (ну может быть какие-нибудь циркулянты)

[lofar]

Если основное поле бесконечно, то искомое семейство матриц совпадает с нормализатором подгруппы матриц перестановок в группе всех обратимых матриц.

[Sasha2]

lofar писал(а):

Если основное поле бесконечно, то искомое семейство матриц совпадает с нормализатором подгруппы матриц перестановок в группе всех обратимых матриц.

Ну а попроще можно, не все же такие умные.

[lofar]

Прошу извинить. Напишу подробнее. Пусть $K$ --- основное поле. Предполагаю, что $K$ бесконечно. Группа всех обратимых матриц порядка $n$ с элементами из $K$ обозначается $GL_n(K)$. Матрицей перестановки называется матрица с элементами из множества $\{0,1\}$, содержащая в точности по одной единице в каждом столбце и каждой строке (это определение уже давал Someone). Совокупность всех матриц перестановок обозначим $\mathfrak S_n$. Семейство $\mathfrak S_n$ есть подгруппа в $GL_n(K)$. Множество матриц из Вашей задачи,обозначим его $P_n$, есть нормализатор $\mathfrak S_n$ в $GL_n(K)$, то есть $P_n = \{A\in GL_n(K)\colon A\mathfrak S_nA^{-1}=\mathfrak S_n\}$. Отмечу, что это, достаточно очевидное, замечание не дает явного описания семейства $P_n$.

[Sasha2]

А можно ли из всего этого заключить, что таковыми матрицами будут только те, у которых строки состоят только из нулей и единиц (причем единица может быть только одна). Ну разумеется, точность до постоянного множителя, ввиду тривиальности мы не рассматриваем.

[evgeny]

Описание ввиде нормализатора лишь переформулировка условия.

Если все ниженаписанное верно, то нормализатор не сильно отличается от группы.

Если вернуться к исходной формулировке, то для любой перестановки столбцов ( в матрице $A^{-1}$) существует перестановка строк, возвращающая все на место.
Раз матрица невырождена, то все строки и столбцы различны, и мы имеем биекцию между перестановками строк и столбцов.

Рассмотрим два столбца (пусть первый и второй) они отличаются в какой-то строке.
Рассмотрим эту строку
$(a_1,a_2,a_3,a_4,...,a_n)$.
Переставим два первых столбца (рассмотрим такую перестановку столбцов).
Легко видеть, что в соотвествующей перестаноке строк образ и прообраз (следующая и предудущая строки в цикле) по перестановки столбцов имели вид
$(a_2,a_1,a_3,a_4,...,a_n)$
Т.е. это одна и та же строка (цикл имеет длину 2)

Теперь рассмотрим транспозицию этих двух строк.
Рассуждая аналогично, получаем, что два первых столбца совпадают вне этих строк.

Мы показали, что любые два столбца отличаются транспозицией двух элементом.

По индукции можно показать, что все матрицы с таким условием имеют вид $aA+bP_n$,
где $A$--матрица все элементы которой еденицы, а $P_n$--перестановочная матрица.
Невырожденные матрицы такого вида и образуют искомое множество.

Вопрос про все перестановки корней многолчена вообще особого смысла не имеет, т.к. если хотя бы 2 корня разчилны, то все уравнения искомой системы имеют вид

$$ a_i(x_1+x_2+...+x_n) = a_iS $$

[Sasha2]

На самом деле, такой матрицей будет любая матрица, все строки и столбцы, которых являются перестановками одних и тех же чисел (так, чтобы одни и те же элементы не встречались на перечечении одних и тех же строк и столбцов).
Вот пример:
1 2 3
2 3 1
3 1 3

Вопрос в том, легче ли найти эти 1 2 3 по сравнению с задачей решения полниома n-й степени.

[Sasha2]

А если пойти немного дальше, то просто вытекает, что строками такой матрицы должны быть корни какого то еще одного полинома тоже n-й степени поставленные, ну Вы сами уже догадываетесь в каком порядке.
Таким образом, такой способ задачи оказывается во всяком случае не проще исходного. Даже если мы и найдем этот полином, но нам все равно придется искать его корни.

Но все таки мне кажется, что справедливо следующее:
Решение любого полинома n-й степени с ненулевым свободным членом может быть получено в виде решения системы линейных уравнений, коэффициентами которой являются корни другого полинома n-й степени также с ненулевым свободным членом, при этом первой строкой указанной системы может быть любая перестановка из корней второго многочлена, а каждая последующафя получается путем циклической перестановки первого и последнего элемента предыдущей строки. А вот насчет столбца свободных членов никаких предположений у меня не возникает.

[evgeny]

Вы наверно имели ввиду матрицу

$$ A = \left( \begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 2&3&1\\ 3&1&2\\ \end{array} \right) $$

Если это пример к Вашему первому вопросу, тогда я перестал его понимать, потому что
решением

$$ Ax = \left( \begin{array}{ccc} 123\\ 231\\ 312\\ \end{array} \right) $$

будет $x = \left(100, 10, 1\right)^t$
тогда как при перестановке свободных членов, например

$$ Ax = \left( \begin{array}{ccc} 231\\ 123\\ 312\\ \end{array} \right) $$

решение уже явно не будет перестановкой чисел $ ( 100, 10, 1)$

К сожалению весь Ваш текст про связь с какими-то корнями полиномов вообще непонятен.
Если вы хотите, чтобы любая перестановка чисел $(x_1,x_2,...,x_n)$ была решением уравнения
$ a_1y_1+a_2y_2+...+a_ny_n = b$ $\left( y_i = x_{\sigma(i)}\right)$, то либо все $a_i$, либо все $x_i$ должны совпадать.
В случае системы это верно для каждого уравнения.

[Sasha2]

Ну и все правильно, Вы же сами сказали об этом, уважаемый Evgeny, речь идет только о перестановке столбца свободных членов.

Ну вот Вы зафиксировали матрицу
1 2 3
2 3 1
3 1 2

Согласны Вы, что элементы этой матрицы есть корни одного и того же многочлена, взятые в разном порядке. А теперь я утверждаю, что как бы мы не переставляли СТОЛБЕЦ СВОБОДНЫХ ЧЛЕНОВ (матрица остается неизменной), решения будут одни и те же, только может быть, взятые в другом порядке.