Решение алгебраических уравнений выше 2-ой степени

[fer1800]

Это не теория. Это название книг, а мне нужна теория.

[PAV]

fer1800
ну Вы не наглейте-то особо.

[Someone]

fer1800 в сообщении #298390 писал(а):

Это не теория. Это название книг, а мне нужна теория.

Ну, Вы как себе представляете удовлетворяющий Вас ответ? Что кто-нибудь перепишет сюда пару десятков страниц из учебника?

[fer1800]

Зачем пару десятков? Достаточно выводы, основные соотношения.

Что касается книг, то в бумажном варианте их не достать, а в компьютерном прочтение их займёт много времени.

[Коровьев]

fer1800 в сообщении #298407 писал(а):

Зачем пару десятков? Достаточно выводы, основные соотношения.

А я и привёл мелким шрифтом основной вывод

Цитата:

Все минимальные многочлены кольца алгебраических чисел из полного модуля с единицей - суть многочлены с целыми коэффициентами

Иначе вот что пришлось бы мне доказать переписать, что
1. Множество элементов
$\alpha = \sum\limits_{n = 1}^{p - 1} {a_n \varepsilon ^n } $
где $a_n$ - целые числа, $P$ - простое число,$ \varepsilon = e^{\frac{{2\pi i}}{P}} $
есть кольцо. Единица принадлежит этому кольцу.
2. Это кольцо есть полный модуль в поле алгебраических чисел деления круга и, следовательно, является порядком этого поля.
3. Если число $\alpha$ принадлежит этому порядку, то его характеристический многочлен имеет целые коэффициенты.
4. Все изоморфизмы $\alpha$
$\alpha _{(k)} = \sum\limits_{n = 1}^{p - 1} {a_n } \varepsilon ^{kn} $
$ k = 1,...P - 1 $
имеют одинаковый характеристический многочлен и, следовательно являются его корнями.
5. Характеристический многочлен равен минимальному многочлену в некоторой степени и, следовательно, также имеет целые коэффициенты. (Минимальный многочлен всегда неприводим в поле рациональных чисел).
6. Элементы
$\varepsilon ^k + \varepsilon ^{ - k} = \varepsilon ^k + \varepsilon ^{P - k} $
имеют характеристический многочлен степени $P-1$ равный квадрату минимального многочлена степени $\frac{{P - 1}}{2}$
***
Есть второй путь доказательства данного конкретного случая через симметрические многочлены и изоморфизмы $\alpha$.
***
И, наконец, третий для не верящих- проверить по формулам Виета, что это уравнение пятой степени действительно имеет эти корни и целые коэффициенты.
Я верю, ибо знаю.

[fer1800]

В общем можно по русски?

Дан многочлен, допустим пятой степени:
$x^5+a_1x^4+a_2x^3+a_3x^2+a_4x+a_5=0$

Если уравнение разрешимо, то какие связи накладываются на его коэффициенты?

[maxmatem]

А, что вы подрузумеваете под связями? если как связаны корни с коэффициентами, то вспомните теорему Виета.
$\[\begin{gathered} {a_1} = - ({\alpha _1} + {\alpha _2} + {\alpha _3} + {\alpha _4} + {\alpha _5}) \hfill \\ {a_2} = {\alpha _1}{\alpha _2} + {\alpha _1}{\alpha _3} + {\alpha _1}{\alpha _4} + {\alpha _1}{\alpha _5} + {\alpha _2}{\alpha _3} + {\alpha _2}{\alpha _4} + {\alpha _2}{\alpha _5} + {\alpha _3}{\alpha _4} + {\alpha _3}{\alpha _5} + {\alpha _4}{\alpha _5} \hfill \\ {a_3} = - ({\alpha _1}{\alpha _2}{\alpha _3} + {\alpha _1}{\alpha _2}{\alpha _4} + {\alpha _1}{\alpha _2}{\alpha _5} + {\alpha _2}{\alpha _3}{\alpha _4} + {\alpha _2}{\alpha _3}{\alpha _5} + {\alpha _3}{\alpha _4}{\alpha _5}) \hfill \\ {a_4} = ({\alpha _1}{\alpha _2}{\alpha _3}{\alpha _4} + {\alpha _1}{\alpha _2}{\alpha _3}{\alpha _5} + {\alpha _2}{\alpha _3}{\alpha _4}{\alpha _5}) \hfill \\ {a_5} = - {\alpha _1}{\alpha _2}{\alpha _3}{\alpha _4}{\alpha _5} \hfill \\ \end{gathered} \] $

[fer1800]

Теорема Виета не даёт ответа на то разрешимо уравнение или нет.

[tolstopuz]

fer1800 в сообщении #298729 писал(а):

В общем можно по русски?

Дан многочлен, допустим пятой степени:
$x^5+a_1x^4+a_2x^3+a_3x^2+a_4x+a_5=0$

Если уравнение разрешимо, то какие связи накладываются на его коэффициенты?

http://www.google.ru/#q=solving+solvable+quintics
По первой ссылке отдается статья в pdf.

[maxmatem]

fer1800! вы же сами написали "если уравнение разрешимо, то какие связи накладываются не его коэффициенты?", вот я вам и написал связь между корнями и коэффициентами!
тем более вы не спрашивали, когда оно будет разрешимо!

[fer1800]

maxmatem в сообщении #298850 писал(а):

fer1800! вы же сами написали "если уравнение разрешимо, то какие связи накладываются не его коэффициенты?", вот я вам и написал связь между корнями и коэффициентами!
тем более вы не спрашивали, когда оно будет разрешимо!

Имеется в виду корни выражаются через коэффициенты.

-- Чт мар 18, 2010 09:59:49 --

tolstopuz в сообщении #298845 писал(а):

fer1800 в сообщении #298729 писал(а):

В общем можно по русски?

Дан многочлен, допустим пятой степени:
$x^5+a_1x^4+a_2x^3+a_3x^2+a_4x+a_5=0$

Если уравнение разрешимо, то какие связи накладываются на его коэффициенты?

http://www.google.ru/#q=solving+solvable+quintics
По первой ссылке отдается статья в pdf.

Попробую разобраться.

P.S.
кажется у гугля появились новые возможности.