2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Площади геометрических фтгур
Сообщение16.03.2010, 01:26 
1.Выпуклый четырехугольник распался на четыре треугольника, когда точку пересечения его средних линий соединили со всеми вершинами. Докажите, что сумма площадей двух не соседних треугольников равна половине площади четырехугольника.

2.Разделить треугольник на три равновеликие части прямыми, перпендикулярными к основанию.

3.Разделите треугольник на две равновеликие части отрезком наименьшей длины.

4.Каждая из трех прямых делит площадь фигуры пополам. Докажите, что часть фигуры, заключенная внутри треугольника, образованного этими прямыми, имеет площадь, не превосходящую 1/4 площади фигуры.

5.Докажите, что любой выпуклый многоугольник можно разрезать двумя взаимно перпендикулярными прямыми на четыре фигуры равной площади.

P.S. Искомое решение , на мой взгляд, опирается на знание свойств площадей фигур, но глядя на чертежи к этим заданиям я теряюсь в догадках. Вроде бы иду в верном направлении, но вот чего-то не хватает...

 
 
 
 Re: Площади геометрических фтгур
Сообщение16.03.2010, 10:49 
1. Почитайте про свойства центроида четырехугольника.

 
 
 
 Re: Площади геометрических фтгур
Сообщение16.03.2010, 13:31 
Аватара пользователя
В 5 что-то типа равновесия табуретки - доказательство по непрерывности ("если вот так у нас отклонение сюда, а вот так - наоборот, то, поворачивая из 1 в 2, неизбежно пройдём через...")

 
 
 
 Re: Площади геометрических фтгур
Сообщение16.03.2010, 22:07 
Аватара пользователя
2 банально: отмеряешь и режешь. Или там надо было циркулем и линейкой?
В 3 ответом является дуга окружности с центром в одной из вершин.

-- Вт, 2010-03-16, 23:07 --

Да, я читал, что в условии просят отрезок, но мне оно не нравится. Всё равно тема покинута топикстартером, так пусть уж будет по-моему.

 
 
 
 Re: Площади геометрических фтгур
Сообщение17.03.2010, 00:03 
2. отмерять точки на основании к которым и проведем перпендикулярные прямые?

3. а окружность какого радиуса брать нужно?
а если там попробовать составить пропорции...да и в различных случаях этот отрезок может по-разному находиться.

 
 
 
 Re: Площади геометрических фтгур
Сообщение17.03.2010, 18:55 
Аватара пользователя
2. Как-то так, да.
3. Э. Это была свободная фантазия "какую бы ещё задачу придумать", а Вам же вроде отрезки нужны, нет? С отрезками это другая задача. Наверное, будет отрезок, перпендикулярный к биссектрисе наименьшего угла, но я не проверял.

-- Ср, 2010-03-17, 19:59 --

Ну и в заключение...
4. Взять какую-нибудь фигуру из теста Роршаха, разрезать тремя прямыми. Будет 7 кусков. Обозначить их: $a,b_1,b_2,b_3,c_1,c_2,c_3$. Написать все мыслимые уравнения между ними: одно подмножество равно другому, третье - четвёртому, пятое - шестому, и все они - друг другу, а также половине общей суммы. И комбинировать до достижения результата. Там просто.

 
 
 
 Re: Площади геометрических фтгур
Сообщение18.03.2010, 17:55 
2.Обозначим тр-к ABC,AC-основание,из вершины B опустим высоту BM на AC,из точки K на стороне AB опустим перпендикуляр KL на AC,так что площадь $\triangle AKL,S_x=\frac 13S$,где S-площадь $\triangle ABC$.Пусть a-длина AC,b-длина AM,x-длина AL,тогда можно доказать,что $x=\sqrt \frac {ab}3$, и x строится циркулем и линейкой.

 
 
 
 Re: Площади геометрических фтгур
Сообщение18.03.2010, 18:21 
4. То есть брать суммы площадей и сравнивать пока не получится что-либо подходящее? Похоже на подгонку))

2. Допустим что мы построили треугольник AKL и он равен 1/3 треугольника ABC (по площади), остается разбить оставшуюся часть на две равные площади опять же отрезком перпендикулярным к основанию. Тогда по указанному способу можно взять точку на стороне BC и проделать аналогичные действия...все бы ничего...но схематичный рисунок все портит. Не спорю, что один треугольник можно найти, но вот второй - я сомневаюсь.

 
 
 
 Re: Площади геометрических фтгур
Сообщение18.03.2010, 18:30 
Аватара пользователя
Нет. Не подгонку. Брать буквы. Какие, я сказал. Писать равенства.

 
 
 
 Re: Площади геометрических фтгур
Сообщение18.03.2010, 21:31 
Если площадь $\triangle ABM>\frac 23S$,то из точки N на стороне AB опускаем перпендикуляр NO на сторону AC так,что площадь тр-ка ANO равна $\frac 23S_{ABC}.$Пусть $y$ длина отрезка AO аналогично можно доказать,что $y=\sqrt \frac{2ab}3$.
Если же площадь тр-ка ABM $<\frac 23S$,то перпендикуляр NO опускаем из точки N на стороне BC так,что площадь тр-ка NBO равна $\frac 13$ площади тр-ка ABC.Длина NO в этом случае равна $\sqrt \frac {(a-b)a}3.$

 
 
 
 Re: Площади геометрических фтгур
Сообщение21.03.2010, 11:09 
Писать равенства что сумма площадей одних кусков равна сумме площадей других, и перебирать всевозможные варианты?

 
 
 
 Re: Площади геометрических фтгур
Сообщение21.03.2010, 11:26 
Аватара пользователя
Да, такие равенства, и с ними возиться.

 
 
 
 Re: Площади геометрических фтгур
Сообщение22.03.2010, 14:54 
2. Необходимо основание поделить на три части, соединить полученные точки с противоположной вершиной. Получаем три равных по площади треугольника: $1; 2; 3$.
Затем объединив в треугольник треугольники $1+2$, поделить его пополам, проведя перпендикуляр к основанию через пересечение его биссектрис.
В оконцовке проделать то же самое с треугольником $2+3$.

Свежее решение! В том смысле, что осенило только 10 минут назад.

 
 
 
 Re: Площади геометрических фтгур
Сообщение22.03.2010, 17:08 
Такой способ, к сожалению, годится не для всех случаев.

 
 
 
 Re: Площади геометрических фтгур
Сообщение22.03.2010, 18:32 
Нашел короткое решение задачи 1 (до этого было сложное и длинное).

Четырехугольник $ABCD$.

Середины сторон $AB; BC; CD; AD$, соответственно, точки $M; N; K; L$.

Пересечение $MK$ и $NL$ - точка $F$.
________________

$ S_{AML}+S_{CNK}= \dfrac{S_0}{4}$, где $S_0$ - площадь четырехугольника $ABCD$ (используемое свойство: площадь треугольника, отсекаемого средней линией равна четверти площади треугольника).

$ S_{ABL}+S_{CDN}= \dfrac{S_0}{2}= S_{BNDL}$ (используемое свойство: площадь треугольника медианой делится пополам).

$S_{BNF}=\dfrac {S_{BNL}}{2}$
$S_{DFL}=\dfrac{S_{DNL}}{2}$

$S_{BNF}+S_{DFL}=\dfrac {S_0}{4}$

$S_{ADF}+S_{BCF}=\dfrac {S_0}{2}$

 
 
 [ Сообщений: 15 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group