вычисление среднего для биномиального распределения

[Kafari]

Не знаю, в каком разделе лучше задать вопрос, в физике или в математике, но думаю к математике ближе. Мне вот нужно найти среднее для биномиального распределения, которое выглядит:
$P(n) = \frac {N!}{n!(N-n)!} * p^n (1-p)^{N-n}$,
где $N$ количество испытаний, $n$ - количество успешных, $p$ - вероятность одного успеха.
Собственно, чтобы найти среднее, нужно посчитать такую сумму:
$\sum\limits_{n=0}^N \frac {N!*n}{n!(N-n)!} * p^n (1-p)^{N-n}$
Но как это сделать, я не знаю. Нужно получить $Np$ - среднее значение. Подскажите хотя бы как начать

[PAV]

Вам нужно посчитать любым способом или непременно комбинаторным?

Если любым, то из теории вероятностей известно, что математическое ожидание суммы слечайных величин есть сумма математических ожиданий. А биномальное распределение есть сумма $N$ слагаемых, каждое из которых принимает значение 1 с вероятностью $p$ и 0 с вероятностью $1-p$.

Если же комбинаторным, то уберите слагаемое, соответствующее $n=0$ (поскольку оно нулевое), в оставшихся сократите $n$ и вынесите за знак суммы $N$ и $p$.

[Kafari]

Лучше, наверное, комбинаторным. Как-то нагляднее...
Так вроде получается:
$\sum\limits_{n=0}^N \frac {N!*n}{n!(N-n)!} * p^n (1-p)^{N-n} = N!p\sum\limits_{n=1}^N \frac {p^{n-1} (1-p)^{N-n}}{(n-1)!(N-n)!}$
Либо так:
$\sum\limits_{n=0}^N \frac {N!*n}{n!(N-n)!} * p^n (1-p)^{N-n} = Np\sum\limits_{n=1}^N \frac {(N-1)! p^{n-1} (1-p)^{N-n}}{(n-1)!(N-n)!} = Np \left[ (1-p)^{N-1} + (N-1)p(1-p)^{N-2} + \frac{(N-1)(N-2)}{2!}*p^2(1-p)^{N-3} + ... \right]$
То, что в квадратных скобках, должно равняться 1... Так ведь? Но как к этому прийти?

Визуально-то вроде понятно, что если известна вероятность одного события, то ее нужно просто умножить на общее их количество... Но мне нужен именно алгебраический вывод.

[--mS--]

Kafari в сообщении #297688 писал(а):

То, что в квадратных скобках, должно равняться 1... Так ведь? Но как к этому прийти?

Бином Ньютона.

[Kafari]

Ой да Точно! Спасибо!

[PAV]

То, что в квадратных скобках - это сумма биномиальных вероятностей для общего числа $N-1$ испытаний.