Задачи по матану (трудные)

[ania00]

1. Существует ли такая непрерывная вещественная функция $f$, что $f(f(x))=e^x$ для любого $x$?
2. Для функции $f(x)=x-x^a$, $a>1$, и точки $x_{0}$ из интервала (0, 1) найти асимптотику стремления к нулю величин $f(f( ... f(x_{o}))...)$, где $f$ взято $n$ раз при $n$ стремящемся к бесконечности.
3. Среди всех комплексных многочленов $(z-c_{1})...(z-c_{n})$, все нули $c_{k}$ которых по модулю меньше $1$, найти многочлен с максимальным минимумом модуля на единичной окружности.

[Lister]

Это задачи с заочной олимпиады мехмата
http://www.math.msu.ru/content_root/fil ... ol2010.pdf

[ania00]

4. Пусть $u$ -- вещественная бесконечно дифференцируемая функция, при $|x|>1$ удовлетворяющая неравенству $u'(x)v'(x)+v, где $v$ -- вещественная бескон. диф. функция со свойством
$v(x)$ стремится к плюс бескон. при $|x|$ стремящемся к плюс бескон.
Доказать, что $\int_{mathbb{R}} e^{u(x)}$ меньше плюс бесконечности.

5. Пусть множество $Y$ подмножество отрезка [0, 1] состоит из таких чисел $y=0, y_{1}y_{2}...$
(каждое $y_{n}$ либо 0 либо 1), что для любого натурального $m> N(y)$ выполняется неравенство
$\sum^m_{n=1} y_{n}> m/2$.
Доказать, что мера Лебега множества $Y$ равна нулю.

6. Нормированное пространство $c_{0}$ состоит из стремящихся к нулю действительных последовательностей $x=(x_{1}x_{2}...)$, с нормой $||x||=max{|x_{n}|:n=1, 2, ...}$. На декартовом произведении $c_{0}$ на $c_{0}$ введем норму $||(x, y)||=||x||+||y||$. Существует ли линейная биекция А из $c_{0}$ на $c_{0}$ в $c_{0}$, сохраняющая расстояние между точками?

-- Пт мар 12, 2010 21:31:57 --

Да, но там ведь нет ни решений, ни подсказок.

[Xaositect]

ania00 в сообщении #297065 писал(а):

Да, но там ведь нет ни решений, ни подсказок.

Правила запрещают разбирать задачи идущих олимпиад.

[AD]

Xaositect в сообщении #297067 писал(а):

Правила запрещают разбирать задачи идущих олимпиад.

Тема закрыта до 25 марта.

[AD]

С некоторым запозданием открываю
(чего никто не напоминает? )