Игра двух игроков, расстановка чисел на гранях костей

[Sonejka]

Два игрока играют в следующую игру. На первом шаге игрок А расставляет разные числа от 1 до 18 на 6 гранях трёх игральных костей. На втором шаге игрок В, внимательно изучив кости, выбирает одну. На третьем шаге А выбирает одну из оставшихся. После этого каждый бросает кость. Побеждает тот, на чьей кости выпало большее количество очков. Какому из игроков игра более выгодна.

игра выгодна игроку А, который расставляет цифры. и надо их расставить таким образом, чтобы 1 кость была лучше 2, 2 лучше 3, а 3 лучше 1. это возможно. лучше считается кость, при бросании которой, вероятность того, что выпадет большее число, больше 1\2. вот с вычислением вероятности и тупить начинаю. может кто подскажет?

[meduza]

Стёр лишнее.

[ИСН]

Sonejka, смотрите: кидают две кости. У одной шесть граней. У другой шесть граней.
Сколько всего вариантов исхода?

[garin99]

Смысл есть.
Наверно лучше проверить на примере:
1-я кость: 1,2,4,15,17,18;
2-я кость 3,10,11,12,13,14;
3-я кость 5,6,7,8,9,16;

Получим 1-я "лучше" второй ("лучше" в смысле автора темы)
2-я "лучше" третьей
3-я "лучше" первой

[ИСН]

Видите ли, коллега, у нас обычно стараются не лишать человека радости самостоятельного открытия.
А так-то да.

[garin99]

Ну на самом деле автор темы сам сразу привел алгоритм решения, а помощи он просил в вычислении вероятностей. Так что радость самостоятельного открытия остаётся за ним. Фраза "Смысл есть" относится к сообщению, которое теперь стёрто как лишнее.

P.S. Можно ещё ставить вопрос о наиболее выгодном расположении чисел для первого игрока.

[Sasha2]

Непонятно только, что это такое: "одна кость лучше другой"

[garin99]

Sasha2 в сообщении #297069 писал(а):

Непонятно только, что это такое: "одна кость лучше другой"

Первая кость лучше второй, если вероятность победить при использовании игроком первой кости и использовании соперником второй кости выше, чем проиграть.

[meduza]

Sasha2
Вероятность выиграть с "лучшей" костью выше. Я сначала тоже запутался, а потома вспомнил игру "камень-ножницы-бумага", где "хорошесть" не транзитивна. Здесь такой же случай. Т. е. у $A$ есть приемущство из-за того, что он делает выбор кости последним.

[Sonejka]

=) вопрос был как вероятность посчитать!!! =)

кароч, я делаю так (рассматриваю на предложенном варианте):
пусть В взял первый кубик, А - второй.
рассмотрим для В:
вероятность выпадения какой-либо грани кубика равно 1\6.
18,17,15 - больше всез чисел второго кубика. значит, вероятность что оно перекроет любое число второго кубика, равно 1\6 для каждого варианта.
4 больше только одного числа. значит, в-ть, что она перекроет его равна 1\36.
2,1, не перекроют ничего. значит, в-ть =0.
теперь всё суммируем и получаем, что вероятность того, что у В выпадет число, большее чем у А, = 13\36. или в-ть, что выиграет А = 23\36.

я правильно рассуждаю?

[garin99]

Рассуждения верны, только $\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{36}=\frac{19}{36}$

[Lister]

На самом деле при варианте раскраски
I кость: $18, 10, 9, 8, 7, 5,$
II кость: $17, 16, 15, 4, 3, 2,$
III кость: $14, 13, 12, 11, 6, 1$
вероятность победы $A$ будет еще выше, а именно $\displaystyle{\frac{21}{36}}$. Можно показать, что эта вероятность неулучшаема в указанном выше смысле. Этот так называемый "парадокс транзитивности", что интересно, допускает обобщение на случай произвольного числа случайных величин.

[Sonejka]

garin99, упс... ошибочка вышла)))

спасибо, ребята!!!

[Alexey1]

Lister в сообщении #297162 писал(а):

Можно показать, что эта вероятность неулучшаема в указанном выше смысле. Этот так называемый "парадокс транзитивности", что интересно, допускает обобщение на случай произвольного числа случайных величин.

А есть ли общий способ решения таких задач (например, другое число игральных костей, и т.п.)?

[Lister]

Да, посмотрите в книге Г. Секей. "Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике".