Вопрос о проблеме существования интересного предела

[Профессор Снэйп]

ИСН в сообщении #294290 писал(а):

frankusef, понимаете ли Вы, какой ерундой занимаетесь?

Сомневаюсь. Это уже не первая тема с ерундой, созданная этим автором.

[ИСН]

Тьфу, чёрт! Я с самого начала не так прочитал и имел в виду дробную часть произведения, а не произведение дробных частей. Wishful thinking называется - что хочешь увидеть, то и видишь. Там уже практически получилась задача...
А так извольте: берём все альфы равными 1. Все дробные части становятся постоянными, а с ними и их произведение. Давайте следующее ограничение.

[frankusef]

1.Еклмн...Может сначала лучше доказать существование искомого предела. Использовать, например, критерий Коши.
2.

Цитата:

Тогда должно быть

$$\prod_{i=1}^{n}(k+a_i)^{\alpha_i} =\{\sum_{i=1}^{n}\frac{a_i}{n}\}.$$

Извиняюсь, там я забыл добавить ${k \to \infty} $.
3.Для примера я положил для $n=3$: $\alpha_1=\frac{1}{6}$, $\alpha_2=\frac{1}{9}$, $\alpha_3=\frac{1}{18}$, $a_1=2$, $a_2=5$, $a_3=7$ при k=100 значение произвидения равно примерно 0.0324276..., при k=1000 - 0.011905..., и т.д. похоже, что если ${k \to \infty}$, то $c=0$, но я не уверен... Альфы должны быть некоторыми не целыми числами.

[ИСН]

Ага. Теперь - чтобы альфы нецелыми. Ну что же.
Если хоть одна альфа меньше единицы, то имеем вот что: $(k+a)^\alpha$ будет прирастать всё более мелкими шагами, и следовательно, его дробная часть плотно покроет весь интервал (0,1). То есть среди значений этого множителя будут (и никогда не перестанут) встречаться сколь угодно малые, меньше любого $\varepsilon$. Но минуточку, ведь остальные множители - это тоже чьи-то дробные части, значит, они ограничены сверху единицей. То есть всё произведение тоже будет (иногда) очень маленьким. Это что значит? Что предел или отсутствует, или равен нулю. Ненулевого предела быть не может.

Если все $\alpha_i>1$, то там сложнее, но наверняка в итоге выйдет то же самое.