Вопрос о проблеме существования интересного предела

[frankusef]

Добрый вечер! Возник вот такой вопрос. Существуют ли такие действительные числа $\alpha_i$(i пробегает от 1 до n) одновременно не равные нулю, что

$$\lim\limits_{k \to \infty}\prod_{i=1}^{n}\{(k+a_i)^{\alpha_i} \}\ = c, $$

где $a_i$ - некоторые ненулевые действительные числа, c - некоторая константа, $\{\}$ - дробная часть? Можно рассмотреть также конечный аналог даного равенства, когда $k $ - постоянное. Заранее благодарен.

[ИСН]

frankusef, понимаете ли Вы, какой ерундой занимаетесь? Положим, я нашёл такие числа: $\alpha_i=0$ при всех i. Нравится? Нет? Почему?

[frankusef]

Цитата:

frankusef, понимаете ли Вы, какой ерундой занимаетесь? Положим, я нашёл такие числа: $\alpha_i=0$ при всех i. Нравится? Нет? Почему?

числа $\alpha_i$(i пробегает от 1 до n) одновременно не равные нулю

[ИСН]

Тьфу. Виноват, не заметил, но всё равно. Тогда так: подберу их такими, чтобы каждый множитель был целым. Могу?

[frankusef]

Извиняюсь, в условии должно быть $c\neq 0$.

[ИСН]

Пусть так. Но всё равно. Я же могу сделать множители любыми числами, кроме нуля и единицы? Могу. Ну вот я и сделаю их такими, чтобы произведения были: 1.5, следующее 2.5, потом 3.5...

[frankusef]

ИСН
А можно поконкретнее.

[ИСН]

А, нет, так не могу. Минуточку... $k$ у Вас, покуда стремится к бесконечности, пробегает по целым?

[frankusef]

Конечно

[ИСН]

Так... Да, эта поправка про $c\neq 0$ весьма критична, с ней начинает получаться что-то потенциально интересное.
Ну, я тогда так: сделаю $\alpha_1=1$, а остальные 0. Все множители будут по 1, кроме одного, у которого дробная часть одна и та же при любых $k$. Давайте следующее ограничение.

[frankusef]

Есть одна идея (насчет конечного варианта). Допустим : $\alpha_i$ - несократимые дроби такие, что

$$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\alpha_i}=\frac{1}{n}, $$

Тогда должно быть

$$\prod_{i=1}^{n}(k+a_i)^{\alpha_i} =\{\sum_{i=1}^{n}\frac{a_i}{n}\}.$$

Как это может помочь задаче, не знаю(это всего лишь догадка).

[ИСН]

Понимать ли это так, что теперь у нас в условии все $\alpha_i\neq 0$?

[frankusef]

Да

[ИСН]

Тогда выкатываю следующий вариант: берём альфы от балды, но чтобы их сумма равнялась 1. Предел дробной части будет существовать и его можно сделать практически любым.

[frankusef]

ИСН
Вы учитывали дробные части множителей?