Построить окружность по двум точкам и касательной

[Marina]

Подскажите, пожалуйста, как можно решить задачу:
Дана прямая и две точки $A$ и $B$ по одну сторону от прямой. Провести через точки $A$ и $B$ окружность, касающуюся прямой.

[bot]

Ну, к примеру, для построения можно воспользоваться теоремой о касательной и секущей, за исключением тривиального случая, когда $AB$ параллельна прямой.

[gris]

Представьте, что всё уже сделано. Нарисуйте окружность, касательную к ней и две точки на окружности. Посмотрите, как располагается центр окружности по отношению к прямой и точкам. Подвигайте мысленно точки. И решение придёт к Вам. Посмотрите, при какой конфигурации решение невозможно. Какие есть особые случаи.

[Sasha2]

Проще всего наверно вспомнить, что центр окружности одинаково удален от двух касательных к ней.
А по сему живенько перпендикулярчик сооружаем к AB, проходящий через любую из этих двух точек, и вспоминаем свойство биссектрисы угла.

[ewert]

bot в сообщении #293804 писал(а):

Ну, к примеру, для построения можно воспользоваться теоремой о касательной и секущей, за исключением тривиального случая, когда $AB$ параллельна прямой.

Да, наверное, только надо не забыть о том, что там будет два решения (за исключением того тривиального случая).

gris в сообщении #293806 писал(а):

Посмотрите, при какой конфигурации решение невозможно.

Ни при какой.

[Sasha2]

Нет решений будет одно.
Потому что если бы их было два, то тогда биссектрисы внутренних односторонних углов у прямых (два перпендикуляра к AB) при секущей (исходная прямая) пересекались бы в двух точках. Но это не так.

В предыдущем посте я упомянул про любой перпендикуляр просто потому, что центр окружности может быть найден двумя способами
1) Как точка пересечения бисссектрис этих внутренних односторонних углов
2) Как точка пересечения любой из этих биссектрис с серединным перпендикуляром к AB.

Но решений все равно одно.

[ewert]

Sasha2 в сообщении #293826 писал(а):

Нет решений будет одно.

Центр окружности лежит на пересечении серединного перпендикуляра к этим двум точкам и параболы, для которой прямая является директрисой, а ближайшая к ней из этих двух точек -- фокусом. Прямая и парабола пересекаются в двух точках.

[Sasha2]

Да немножко смешал хорду AB с диаметром.

[Marina]

Если я правильно поняла, то решение задачи будет таким: проводим через точки $A$ и $B$ прямую. К отрезку $AB$ проведём серединный перпендикуляр $l_1$. $C$ точка пересечения серединного перпендикуляра $l_1$ c исходной прямой. Проводим прямую$l_2$ симметричную $l_1$ относительно серединного перпендикуляра. Строим окружность диаметром равным $AB$. Получается, что $AC=BC$, как касательные окружности проведенные из одной точки $C$.

[Sasha2]

Наверно все-таки нужно использовать свойство секущих и касательной, когда отрезок касательной есть среднее геометрическое всей секущей и ее внешней части.
Можно действовать следуюшим образом.
1) Продолжим AB до пересечения с исходной прямой. Пусть точка пересечения M.
2) На AB, как на диаметре строим окружность.
3) Из точки M проводим к этой окружности касательную MT. Эта MT и есть среднее геометрическое того, о чем шла речь выше.
4) Осталось только по обе стороны от точки M отложить два отрезка, равные MT. Эти две точки и будут третьими точками тех двух окружностей, которые можно провести через точки A, B и так, чтобы данная прямая была касательной к ним.

Понятно, что это построение невозможно выполнить, когда AB параллельно исходной прмой. Но в этом случае анализ тривилен. AB тогда хорда параллельная искомой касательной, а третья точка данной окружности есть просто пересечение серединного перпендикуляра к AB с этой касательной.

Вот честно говоря попроще не удалось решить.

[Marina]

Sasha2 поясните, пожалуйста:

Цитата:

...по обе стороны от точки M отложить два отрезка, равные MT

В какую сторону от точки М- вправо, влево ... или на какой прямой отложить два отрезка равные МТ?

Цитата:

...тех двух окружностей, которые можно провести через точки A, B

Но в условии задачи сказано про одну окружность, которая бы проходила через заданные точки и исходную прямую , являющейся касательной окружности.

[Sasha2]

Точка M лижит на прямой, которая является Вашей касательной.
Вот по обе стороны от точки M НА ЭТОЙ ПРЯМОЙ и откладываете два отрезка равные MT.

Ну и что что сказано про одну.
Многие задачи так и формулируются.
Но решений у этой задачи две, когда AB непараллельна данной касательной и одно, когда параллельна.

[Marina]

Sasha2 Извините меня. Но вот это совсем непонятно:

Цитата:

Эти две точки и будут третьими точками тех двух окружностей, которые можно провести через точки A, B и так, чтобы данная прямая была касательной к ним

[Sasha2]

А почему не понятно.
Вот представьте из одной точки выходят касательная к окружности и секущая.
Вот мы же знаем, что произведение всей секущей на ее внешнюю часть, равно квадрату касательной.
Продолжив AB до пересечения с заданной касательной (построив TBA), где T точка пересечения секщей с касательной, ну фактически та точка из, которой выходит Ваша секущая TBA и касательная. Осталось толко найти те точки на касательной, которые и являются точками окружностей.
Фактически задача сводится к тому, чтобы по двум данным отрезкам построить их среднее геометрическое.
Вот для этой цели мы и строим окружность на AB как на диаметре (это проще всего). Хотя для этой цели подойдет любая окружность проходящая через эти же две точки в силу все того же свойства касательной и секущей, выходящих из одной точки.
Здесь просто надо уяснитть, что если мы через две точки будем проводить всевозможные окружности, а на прямой, проведенной через эти две точки зафиксируем какую-либо точку, то тогда все касательные, проведенные к построенным таким образом окружностям, будут равны.

[Sasha2]

Да и фактически мы еще попутно доказали и такую теорему о том, что геометрическое место концов касательных, проведенных из одной и той же точки секущей, через две точки (одни и те же) которых проведены всевозможные окружности, есть некоторая окружность, центр которой находится в данной точке на секущей, а радиус равен среднему геометрическому всей секущей е ее внешней части.

И наверно у такой окружности должно быть какое-ибудь имя. Ну я вот не знаю.