Существуют ли задачи, когда общее решение найти нельзя но

[Dialectic]

Существуют ли задачи, когда общий метод решения найти нельзя, но в каждом отдельном случае решение существует и его можно найти?

[12d3]

Конечно. Например, любые уравнения, которые аналитически в общем виде не решаются, а частные случаи, если подставить значения параметров, всегда численно решаются.

[Dialectic]

12d3 в сообщении #293705 писал(а):

Конечно. Например, любые уравнения, которые аналитически в общем виде не решаются, а частные случаи, если подставить значения параметров, всегда численно решаются.

Но может эти уравнения можно решить единым численным способом? Скажем, уравнения пятой степени не решаются в радикалах, но может существует единый численный метод решения всех таких уравнений? Меня же интересует, чтобы не было единого метода.

[gris]

А мне пришла в голову задача о нахождении n-ного простого числа.
Сколько же методов нужно, если они должны попарно не совпадать?

Ещё задача неопределённого интегрирования. Тут уж методов куча.

[Gafield]

Десятая проблема Гильберта о разрешимости диофантовых уравнений.

[Padawan]

Gafield в сообщении #293711 писал(а):

Десятая проблема Гильберта о разрешимости диофантовых уравнений.

Тут и в каждом конкретном случае все плохо -- нет алгоритма который по уравнению позволяет определить разрешимо оно или нет.

-- Пн мар 01, 2010 21:12:11 --

Вообще, Dialectic, уточните Ваш вопрос. Что значит "в каждом отдельном случае решение существует и его можно найти"?

[Gafield]

Да, одного алгоритма на все уравнения. А для каждого, может, есть свой. Хотя, это, конечно, не очевидно. Но мало ли, численно как-нибудь.

[Dialectic]

Padawan в сообщении #293712 писал(а):

Вообще, Dialectic, уточните Ваш вопрос. Что значит "в каждом отдельном случае решение существует и его можно найти"?

Есть задача у которой есть некоторые параметры. Интересует вопрос: может ли быть так, что при подстановки вместо параметров конкретных числовых значений, мы бы точно знали, что решение сушествует и существует способ, чтобы его можно было найти. Но чтобы не один способ не был приемлим для решения всех уравнений. Скажем, если тот способ применить к уравнению с другими значениями параметров, то он с необходимостью бы приводил к неправильному решению. Или чтобы для каждого метода, которым удалось решить задачу в отдельном случае, существовало по крайней мере одно уравнение, которое этим же методом не смогло быть решено?

[Padawan]

Gafield
Допустим уравнение неразрешимо - тогда алгоритм: сказать, что уравнение неразрешимо. Допустим уравнение разрешимо - тогда алгоритм: сказать, что уравнение разрешимо.

Да, в каждом отдельном случае решение существует. Но вопрос, можно ли его найти? Угадать можно - всего два варианта

[Garik2]

По данной теме я знаю отличный пример. Вот целочисленное уравнение Эйлера:

$x^3+y^3+z^3=w^3$

Нужно найти общее уравнение, при помощи которого можно найти все целочисленные "четверки Эйлера".

Известно, что пифагоровы тройки такое общее уравнение имеют ($x=a^2-b^2 ; y=2ab ; z=a^2+b^2$)

Для уравнения Эйлера выявлены лишь частные оригинальные зависимости (их можно найти в Википедии по теме "Задача о четырех кубах"). Но каждое из уравнений Эйлера и Бине, Рамануджана, Леммера, Морделла и др. позволяет получать лишь отдельные значения (2-15% от общего числа всех вариантов - это легко проверяется на компьютере).

[Mathusic]

Dialectic в сообщении #293704 писал(а):

Существуют ли задачи, когда общий метод решения найти нельзя, но в каждом отдельном случае решение существует и его можно найти?

Ну, например, решить в радикалах уравнение $a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x^1+a_0=0$ над $\mathbb{C}$.
Подставим $a_5=0$ и задача решаема.