Секущая и окружность

[Marina]

Задача на построение:
Дана окружность с центром в точке $O$ . Из точки $M$, лежащей вне круга, провести секущую так, чтобы её отрезок внутри круга был равен её отрезку вне круга.
Мои соображения по задаче: провела секущую$MK$ через центр окружности и секущую $MB$. По теореме о секущей $MA*MB=MN*MK$ . Пусть $MN=y$,$MA=x$ , а$KN=d$ . Так как $MA=AB$, тогда$x=\sqrt{\frac {y^2+yd} {2}}$. Измерив расстояние $MN$и $KN$, нашла длину $MA$. И сделала построение. Правильно я решила или нет?

[Профессор Снэйп]

$2x^2 = a^2$, где $a$ --- длина касательной.

Проводите касательную, потом строите квадрат с диагональю, равной этой касательной.

[Marina]

С равенством согласна, а вот как построить квадрат, не знаю.

[Профессор Снэйп]

Откладываете от разных сторон диагонали этого квадрата углы по 45 градусов. Прямой угол пополам поделить сумеете?

[Sasha2]

Ну, а зачем так все усложннять.
Ну пусть Ваша секущая MNP построена (MN - ее внешняя часть, а NP - внутренняя).
Продолжим ON за N на радиус, т.е строим QN=ON.
Тогда POMQ параллелограмм по диагональному признаку, а значит MQ=OP.
Отсюда такое построение
1) Строим окружность кончентрическую исходной, но удвоенного радиуса.
2) Строим окружность с центром в точке M исходного радиуса.

Точки пересечения этих двух окружностей соединяем с центром исходной. Они и есть те точки на исходной, через которые нужно проводить секущие.

Осталось выяснить, возможность проведения такого построения и количество решений.

[Marina]

Sasha2
Не поняла

Цитата:

Строим окружность кончентрическую исходной

Поясните, пожалуйста.

[Sasha2]

Это значит с тем же центром.

Ну можно еще последнее предложение поправить, что точки пересечения этих прямых с исходной окружностью и есть те точки, через которые нужно вести секущие.

[Marina]

Sasha2
У меня ещё вопрос: А где расположен центр окружности удвоенного радиуса? Я, если честно признаться, построение не поняла.

[Sasha2]

Да в Вашей же исходной окружности.

Еще раз
Через точку M нужно провести секущую к окружности с центром в точке O радиуса R и далее по тексту задачи.
1) Строим окружность с центром в точке O радиуса 2R
2) Строим окружность с центром в точке M радиуса R.
3) Через точки пересечения этих двух окружностей и точку O проводим прямые
4) Точки пересечения этих прямых на окружности O и есть те точки, через которые нужно вести секущие.

[Marina]

Sasha2 СПАСИБО!!!

[Sasha2]

Вы рано говорите спасибо.
Задача то еще не до конца решена.
Нужно указать количество решений и условия проведения этого построения.
Хотя это тривиально:
Дано OM - расстояние между центрами двух окружностями. Радиус одной R, а другой 2R.
Выяснить, когда эти две окружности
а) Не пересекаются
б) Касаются
в) Пересекаются.