Задачи по теме "Ряды"

[Olga1407]

Здравствуйте! Мне нужна помощь в разборе задач из контрольной по теме "Ряды". Я перекопала собственную память и всю литературу имеющуюся по близости, но не получается. Прошу направить мои мысли в нужном направлении. Заранее спасибо.

1. Исследовать сходимость числового ряда\sum_{n= 2}^{\infty} 1/nlnn

2. Найти интервал сходимости степенного ряда \sum_{n= 2}^{\infty} (3^n/\sqrt{2^n (3n-1)}) x^n

3. Вычислить опеделенный интеграл \int_{0}^{0,5} sinx^2 /x^2 c точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно.

4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения y'=2e^y +xy, удовлетворяющего начальному условию y(0)=0

5. Разложить данную функцию f(x)=x^2 в ряд Фурье в интервале (0;2\pi)

Мои мысли:
1. Рассмотреть график и интеграл. Интеграл расходится, и данный ряд расходится.

2. У меня получился интервал (0;2), при 2 ряд расходится, а при 0 не понимаю что делать

3. не могу разложить в ряд

4. видела комментарии к похожему примеру, там советовали найти производные от 0, я так понимаю это и будут члены разложения в степенной ряд?

5. Нашла этот пример только на промежутке (-\pi ; \pi) его ведь можно использовать?

[ewert]

Olga1407 в сообщении #293557 писал(а):

2. У меня получился интервал (0;2),

Никак нет, должно быть $(-R;R)$. Радиус искать по формуле Даламбера, а на границах проверять необходимое условие сходимости.

Olga1407 в сообщении #293557 писал(а):

3. не могу разложить в ряд

Разложите $\sin t$, подставьте $t=x^2$ и поделите почленно.

Olga1407 в сообщении #293557 писал(а):

там советовали найти производные от 0, я так понимаю это и будут члены разложения в степенной ряд?

Степенной ряд -- это ряд Тейлора, а значения производных входят в его коэффициенты.

Olga1407 в сообщении #293557 писал(а):

5. Нашла этот пример только на промежутке (-\pi ; \pi) его ведь можно использовать?

Нельзя, на этом промежутке функция ведёт себя совсем иначе.