Биссектрисы в равнобедренном тр-ке

[meduza]

Полчаса сижу над элементарной задачей. Хоть убейте, не въеду...

Цитата:

У треугольника две биссектрисы равны. Докажите, что он равнобедренный.

[gris]

Это теорем Штейна-Лемуса. Геометрически там с ума сойдёшь доказывать, а если использовать выражение биссектрисы через стороны, то получается сразу.

[V.V.]

meduza в сообщении #293379 писал(а):

Полчаса сижу над элементарной задачей. Хоть убейте, не въеду...

Цитата:

У треугольника две биссектрисы равны. Докажите, что он равнобедренный.

Теорема Штейнера-Лемуса, если не ошибаюсь.
Ну, можно записать выражения для биссектрис через стороны, возвести равенство в квадрат и разложить левую и правую части получившегося равенства на множители. У школьников на моем кружке так получалось доказать.

[meduza]

Понял. Спасибо.

[Sasha2]

Проще всего это наверно сделать вот таким построением



Здесь ND равна и параллельна AM, а значит:
1) Четырехугольник AMDN - параллелограмм
2) треугольник BND равнобедренный при вершине N.
А дальше от противного по углам.

[Ivan_96]

Теорема Штейнера-Лемуса. Геометрически доказывается, если попытаться доказать равенство треугольников по стороне, противолежащему углу и биссектрисе этого угла. для этого докажите сл. задачу:
3. В окружности проведены хорды АС, МВ1, МВ2, причем М – середина дуги АС. Хорды АС и МВ1 пересекаются в точке M1, а хорды АС и МВ2 – в точке M2. Докажите, что если M1B1= M2B2, то либо прямые B1B2 и АС параллельны, либо точки B1 и B2 совпадают.(с помощью движений)

[Landay14]

Можно от противного доказать.
Предположить , что треугольник неравнобедренный и описать окружность около треугольника ANB.
Эта окружность пересекает AM.
а еще нужно использовать теорему синусов и связать с радиусом окружности.