Неизмеримые функции

[ShMaxG]

Что-то нигде не могу найти примеры неизмеримых функций (кроме известного примера суперпозиции измеримой от непрерывной). Обязательно ли дифференцируемая функция измерима, или нет? А суперпозиция измеримой от дифференцируемой?
Буду рад ссылкам на соответствующую литературу.

[Padawan]

Измеримая $f$ от непрерывной $g$ измерима! Берем интервал $I$, его прообраз $g^{-1}(I)$ открыт, тогда $f^{-1}(g^{-1}(I))$ измеримо.

[ShMaxG]

Я тут сижу разбираюсь, но такого варианта еще не встречал!

А известный пример можно встретить в Гелбауме, "Контрпримеры в анализе".

Я так понимаю, здесь есть какая-то тонкость, о которой нигде не пишут, и я не могу распознать.

На лекциях давалось такое определение:

Пусть $\[\left( {X,\mathfrak{M},\mu } \right)\]$ - измеримое пространство. Функцию $\[f:X \to \mathbb{R} \cup \left\{ { \pm \infty } \right\}\]$ будем называть измеримой, если для любого числа $a$ лебегово множество $L_{<}(f,a)$ является измеримым, т.е. выполнено включение $L_{<}(f,a) \in \mathfrak{M}$

-- Вс фев 28, 2010 01:33:29 --

Так, то, что непрерывная функция (а следовательно и дифференцируемая) измерима - я понял.
Так же я понял, что не всегда суперпозиция измеримой от измеримой - измеримая функция (об этом здесь: http://en.wikipedia.org/wiki/Measurable_function).
Но вопрос насчет измеримости суперпозиции измеримой от дифференцируемой остается в силе.

[Padawan]

Никакой тонкости нет, просто я ступил! Извините. Ведь $(g\circ f)^{-1}= f^{-1}\circ g^{-1}$ Поэтому непрерывная от измеримой измерима, а не наоборот.

[AD]

ShMaxG в сообщении #293155 писал(а):

Что-то нигде не могу найти примеры неизмеримых функций

Примеров неизмеримых функций, скорее всего, не бывает вообще. Наиболее знаменитое доказательство существования называется "пример Витали": там берётся на $[0,1]$ (который понимается как окружность единичной длины) отношение $x\sim y\iff x-y\in\mathbb{Q}$, и из каждого класса эквивалентности выбирается по одному элементу; множество выбранных элементов неизмеримо вместе со своей характеристической функцией, потому что счетным числом "прокручиваний" этого множества по отрезку $[0,1]$ можно залить весь отрезок, а прокрученные множества не пересекаются и имеют одинаковую меру (т.е. по сигма-аддитивности если мера их всех - нуль, то и мера отрезка - нуль, а если не нуль, то мера отрезка - бесконечность). Как-то так.

Цитата:

А суперпозиция измеримой от дифференцируемой?

О, вот это хороший вопросик, не знаю даже То есть так: если функция дифференцируема, то прообраз измеримого множества - измерим? Самому интересно, думаю.

-- Вс фев 28, 2010 02:50:48 --

Вообще, что это за класс функций такой - у которых прообраз измеримых множеств измерим? Они вообще линейное пространство-то образуют? Если да, то вроде бы всё просто.

[Padawan]

Если функция непрерывная, то достаточно, чтобы прообраз множества меры нуль имел меру нуль.

[AD]

Padawan в сообщении #293198 писал(а):

Если функция непрерывная, то достаточно, чтобы прообраз множества меры нуль имел меру нуль.

Так этого, вообще говоря, у нас нет. У константы прообраз одноточечного множества - вся область определения.

-- Вс фев 28, 2010 12:35:17 --

Собственно, вот до чего я дошел пока что.

Пусть у нас быстро возрастающая функция. Скажем, $g'(x)>1$. Тогда берём у $g$ неё обратную, и замечаем примерно то, что хотел сказать Padawan: если непрерывная функция обладает $N$-свойством Лузина (а она им обладает, ибо $AC$, ибо заведомо $C^1$), то она отображает измеримые множества в измеримые, и наоборот. Это просто и общеизвестно, и для таких функций задача решена. Это будем называть "первый случай".

Далее, понятно, что можно ограничиться только доказательством для класса $C^1$. Почему? Ну пусть функция $g$ всюду дифференцируема. Тогда $[0,1]$ можно представить объединением счетного числа замкнутых множеств $E_n$, на каждом из которых $g$ есть $VB(E_n)$. Достаточно доказать, что прообраз любого множества в пересечении с любым $E_n$ измерим. Возьмем нашу функцию $\left.g\right|_{E_n}$, и продолжим её до функции $g_n\in C^1[0,1]$, совпадающей с $g$ на $E_n$ (ну нужно просто аккуратно дорисовать ее на смежных интервалах замкнутого множества $E_n$; вроде бы это просто, хотя я не думал особо, так что будьте осторожны!). Ну и раз так, то всё решено.

Теперь возьмем произвольную функцию класса $C^1$. Её можно представить в виде разности двух функций, которые подпадают под первый случай. Так что если нам разрешают брать разности, то всё доказано.

Куда тут еще можно пойти. Вот у нас $C^1$-функция $g$, и у нее можно выделить открытые множества $G_n^+=\{g'>\frac1n\}$, $G_n^-=\{g'<-\frac1n\}$, и замкнутое множество $F=\{g'=0\}$. С первыми множествами $G_n^{\pm}$ всё понятно: они рассыпаются на смежные интервалы, на которых у нас первый случай. Что делать с $F$? Из него можно выкинуть все входящие в него интервалы - это интервалы постоянства $g$. Таким образом, у нас останется нигде не плотное замкнутое множество $K\subset[0,1]$, на котором $g'=0$.

А вот дальше начинаются интересные вопросы. Может ли множество $K$ иметь положительную меру? Ясно, что может - берём канторово множество положительной меры, на смежных интервалах рисуем бугорки настолько маленькие, что получится $C^1$. Может ли $g(K)$ быть несчетным? Ясно, что может: возьмем неопределенный интеграл от предыдущего примера. Но неопределенный интеграл не подпадает под первый случай, так как производная его не отделена от нуля. А теперь вопрос - какова мера $g(K)$ в этом последнем примере? Если мера равна нулю, то у нас катастрофа, и утверждение неверно - выбираем в $K$ неизмеримое подмножество, оно биективно сопоставлено некоторому множеству меры нуль. Так что нужно доказывать, что $\mu g(K)>0$, как только $\mu K>0$. Тут я пока и заткнулся.

Кстати, в том примере с непрерывной функцией, о котором говорил в самом начале ShMaxG, функция не была дифференцируема - там на открытом всюду плотном множестве производная была константой, хотя функция заведомо не линейная (если мы про один и тот же пример говорим ... ну там $\left(x\mapsto\frac{x+\psi(x)}2\right)^{-1}$, где $\psi$ - канторова лестница).

(Оффтоп)

Вернусь вечером; если чего еще придумаю - напишу. Впрочем, наверняка, как всегда в таких случаях бывает, придёт RIP и всё испортит, заметив, что задача тривиальная

[AD]

AD в сообщении #293232 писал(а):

Если мера равна нулю, то у нас катастрофа

А, ну так оно и будет множеством меры нуль! Потому что по формуле Ньютона--Лейбница и теореме о предельных переходах (любой на выбор) приращения на смежных интервалах заполнят множество полной меры в отрезке-образе. Всё, вопрос решен, ответ отрицательный. То есть даже для монотонных функций класса $C^{\infty}$ ответ отрицательный - прообраз множества меры нуль может быть неизмеримым.

Для аналитичных функций, разумеется, результат положительный - там нулей производной на отрезке лишь конечное число. Вот такая глубокая связь ТФДП и ТФКП

Заодно мы поняли, что множество функций, у которых прообраз измеримого множества измерим, не тянет на линейное пространство

[Padawan]

AD
Опередили меня! Я только что хотел написать следующее: берём два канторовых множество -- одно на оси $x$ положительной меры $K_x$, другое на оси $y$ меры нуль $K_y$. Дальше строим на дополнительных интервалах к $K_x$ шапочки, причем их размер выбираем таким, чтобы интеграл от суммы этих шапочек установил биекцию между $K_x$ и $K_y$. Ну и чтобы их сумма была класса $C^\infty$. Всё.

Кстати, я не понял вот это

Цитата:

если непрерывная функция обладает $N$-свойством Лузина (. . .), то она отображает измеримые множества в измеримые, и наоборот.

Во-первых не наоборот. См. пример выше. Во-вторых еще надо , чтобы она была ограниченной вариации. (В Натансоне , по-моему, теорема Фихтенгольца называется).

-- Вс фев 28, 2010 13:29:47 --

Всё-таки вот достаточное условие, чтобы прообраз измеримого множества был измерим: область определения функции можно разбить на счетное число интервалов, в каждом из которых функция либо 1) постоянна, либо 2) монотонна и абсолютно непрерывна, причем обратная также абсолютно непрерывна.

[AD]

Не, "наоборот"-то как раз тривиально, тут даже непрерывность не нужна: берём множество меры нуль, образ которого меры не нуль, в нём выбираем неизмеримое подмножество, в него отображается некоторое множество меры нуль, противоречие.

[Padawan]

Аааа, я просто "наоборот" понял как "обратное отображение"

[AD]

Padawan в сообщении #293266 писал(а):

Во-вторых еще надо , чтобы она была ограниченной вариации. (В Натансоне , по-моему, теорема Фихтенгольца называется).

В этом месте тоже не понял. Зачем?

-- Вс фев 28, 2010 13:41:44 --

Ну просто представляем любое измеримое множество $E=\bigcup\limits_{n=1}^\infty F_n\cup Z$, где $F_n$ замкнуты, $\mu Z=0$, и замечаем, что образ замкнутого множества замкнут.

[Padawan]

Так... Вот что в моей памяти: Непрерывная функция ограниченной вариации обладает $N$-свойством тогда и только тогда когда она абсолютно непрерывна... Да, это не то.

[AD]

Padawan в сообщении #293280 писал(а):

Непрерывная функция ограниченной вариации обладает $N$-свойством тогда и только тогда когда она абсолютно непрерывна... Да, это не то.

Теорема Банаха-Зарецкого. Да, знаменитый факт

Padawan в сообщении #293280 ... ой, уже зачеркнул и не писал(а):

Ну допустим функция обладает $N$-свойством. Почему она переводит измеримые в измеримые?

Ответил только что. Только она еще и непрерывная (без этого, разумеется, неверно).

-- Вс фев 28, 2010 13:49:02 --

Ой, а почему неверно, если не непрерывная? Опять думать надо

-- Вс фев 28, 2010 14:02:04 --

(... возвращаясь через полчаса с пачкой исписанной бумаги) Да, это действительно очевидно.

(исписанная бумага)

Нужно взять $x\cdot\chi_E(x)$, где $E$ - неизмеримое множество. Тогда $N$-свойство очевидно, а образ $[0,1]$ неизмерим.

[ShMaxG]

Вы тут что-то вдруг поняли, обрадовались, пожали друг другу руки и разошлись. Я так понимаю, ответ на вопрос отрицательный. Причем не обязательно дифференцируемую функцию брать можно, а бесконечно дифференцируемую, но, собственно, примера я не увидел.
Я просто не в курсе многих используемых вами понятий и теорем. Можно по порядку, пожалуйста?