система нелинейных уравнений

[amandra]

есть система нелинейных уравнений
$ A_n=\frac {4D\cos(\mu_nR/ \sqrt D)} {2R\mu_n^2+\sqrt D \mu_n \cos(2R \mu_n/ \sqrt D)}$
$ \left\{ \begin{array}{l} \frac {Q_max} \lambda $$\sum\limits_{n=1}^\infty A_n \left [ \exp (-\mu_n^2 \Delta_2)- \exp (-\mu_n^2 (\Delta_1+\Delta_2))\left]-Q^{*}=-\varepsilon ,\\ \frac {Q_max} \lambda $$\sum\limits_{n=1}^\infty A_n \cos\left (\mu_n x_{e} / \sqrt D) \left ) [ \exp (-\mu_n^2 \Delta_2)-exp(-\mu_n^2 (\Delta_1+\Delta_2))\left]-Q^{*}=\varepsilon ,\\ \frac {Q_max} \lambda $$\sum\limits_{n=1}^\infty A_n \cos\left (\mu_n R / \sqrt D) \left ) \left[ \exp (-\mu_n^2 \Delta_2)-\exp (-\mu_n^2 (\Delta_1+\Delta_2))\left]-Q^{*}=-\varepsilon ,\\ $$ \sum\limits_{n=1}^\infty A_n \sin\left (\mu_n x_{e} / \sqrt D) \left ) \left[ \exp (-\mu_n^2 \Delta_2)-\exp (-\mu_n^2 (\Delta_1+\Delta_2))\left]=0 ,\\ \end{array} \right. $
неизветные
$\Delta_1, \Delta_2, x_{e}, \varepsilon $

$\mu$ положительные корни уравнения
$ \tg (\frac \mu {\sqrt D} R )=-\frac {a\sqrt D} {\lambda \mu}$

ряды хоть и бесконечные, но их можно ограничить, попрообвал методом Ньютона, но результат расходится уже на 2 шаге, может кто подскажет как можно эту систему решить?

[PAV]

Тема перемещена из корневого раздела математики в карантин. Почему это произошло, можно понять, прочитав тему
Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться
Там же описано, как исправлять ситуацию.

Картинки вместо формул не допускаются. По исправлении - вернуть в "Помогите решить/разобраться"

[PAV]

Возвращено

[VPro]

Скажите а что Вы хотите получить? В системе координат от «какое-либо решение и весьма приближенное» до «множество всех решений и точно»?
Если ближе к первому, то можно действовать например так. Обозначим
$ x_n=A_n \left [ \exp (-\mu_n^2 \Delta_2)- \exp (-\mu_n^2 (\Delta_1+\Delta_2)) \right]$
Тогда система примет вид
$ \left\{ \begin{array}{l} $$\sum\limits_{n=1}^\infty x_n= \frac {\lambda (Q^{*}-\varepsilon)}{Q_max} ,\\ $$\sum\limits_{n=1}^\infty x_n \cos\left (\mu_n x_{e} / \sqrt D) \right) =\frac {\lambda (Q^{*}+\varepsilon)}{Q_max} ,\\ $$\sum\limits_{n=1}^\infty x_n\cos\left (\mu_n R / \sqrt D) \right)= \frac {\lambda (Q^{*}-\varepsilon)}{Q_max} ,\\ $$ \sum\limits_{n=1}^\infty x_n \sin\left (\mu_n x_{e} / \sqrt D) \right) =0 ,\\ \end{array} \right. $

Из поcледнего уравнения напрашивается $ x_e=0$. Тогда
$ \left\{ \begin{array}{l} $$\sum\limits_{n=1}^\infty x_n = \frac {\lambda (Q^{*}-\varepsilon)}{Q_max} ,\\ $$\sum\limits_{n=1}^\infty x_n = \frac {\lambda (Q^{*}+\varepsilon)}{Q_max} ,\\ $$\sum\limits_{n=1}^\infty x_n\cos\left (\mu_n R / \sqrt D) \right)= \frac {\lambda (Q^{*}-\varepsilon)}{Q_max} ,\\ \end{array} \right. $

Из1 и 2 неизбежно следует $ \varepsilon =0$. Осталось 2 уравнения с двумя неизвестными

$ \left\{ \begin{array}{l} $$\sum\limits_{n=1}^\infty x_n = \frac {\lambda Q^{*}}{Q_max} ,\\ $$\sum\limits_{n=1}^\infty x_n\cos\left (\mu_n R / \sqrt D) \right)= \frac {\lambda Q^{*}}{Q_max} ,\\ \end{array} \right. $
Их можно решать уже приближенно. Обозначим
$Z_1=\exp(-\mu_1^2 \Delta_1)$
$Z_2=\exp(-\mu_1^2 \Delta_2)$


Тогда
$ x_n= A_n (Z_2)^{\gamma_n} \left [1- (Z_1)^{\gamma_n}\right] $
$\gamma_n=\frac{\mu_n}{\mu_1 }$


$ \left\{ \begin{array}{l} $$\sum\limits_{n=1}^\infty A_n (Z_2)^{\gamma_n} \left [1- (Z_1)^{\gamma_n}\right] = \frac {\lambda Q^{*}}{Q_max} ,\\ $$\sum\limits_{n=1}^\infty A_n \cos\left (\mu_n R / \sqrt D) \right) (Z_2)^{\gamma_n} \left [1- (Z_1)^{\gamma_n}\right] = \frac {\lambda Q^{*}}{Q_max} ,\\ \end{array} \right. $
Если взять по 2 первых члена, то как мне видится, это решается аналитически. Большой вопрос: выполнится ли условие сходимости рядов $0\le Z_1\le 1$, $0\le Z_2\le 1$?

[amandra]

VPro в сообщении #294754 писал(а):

Из поcледнего уравнения напрашивается $ x_e=0$.

не может $ x_e$ равняться нулю, так как синус под знаком суммы знакочередующийся
$ x_e$ лежит на интевале (0;R)
как численно решить эту систему?

[VPro]

amandra в сообщении #294772 писал(а):

VPro в сообщении #294754 писал(а):

Из поcледнего уравнения напрашивается $ x_e=0$.

не может $ x_e$ равняться нулю, так как синус под знаком суммы знакочередующийся
$ x_e$ лежит на интевале (0;R)
как численно решить эту систему?

Очень странное условие "синус под знаком суммы знакочередующийся". Если, например, положить $ x_e=2$ то синусы будут вообще одного знака. При разных других значениях $ x_e$ не будет строгого знакочередования.

Чтобы численно решить проще всего не париться, а набрать эту систему (урезанную, естесственно) в MatLab'е. Там реализованы весьма мощные методы. Только здесь ситуация такая, что решений или нет вообще или бесконечно много. Какое будете искать? Т.е. нужно, исходя из своих доп. условий (типа знакопеременного синуса), как то локализовать требуемое решение (указать начальные значения неизвестных).

[amandra]

VPro в сообщении #294801 писал(а):

Очень странное условие "синус под знаком суммы знакочередующийся".

тут ничего странного, чередование не от X, а от $/mu_n$, так как $/mu_n$ корень трансцендентного уравнения

VPro в сообщении #294801 писал(а):

Чтобы численно решить проще всего не париться, а набрать эту систему (урезанную, естесственно) в MatLab'е. Там реализованы весьма мощные методы. Только здесь ситуация такая, что решений или нет вообще или бесконечно много. Какое будете искать? Т.е. нужно, исходя из своих доп. условий (типа знакопеременного синуса), как то локализовать требуемое решение (указать начальные значения неизвестных).

в матлабе попробовал, но глобальный минимум не находит

[VPro]

Погодите, если такого обязательного условия (синус под знаком суммы знакочередующийся) нет, то чем Вам корень $x_e=0$ не подходит?

Цитата:

в матлабе попробовал, но глобальный минимум не находит

О каком глобальном минимуме Вы говорите?

[amandra]

1 оговорился, знакочередование образуется за счет $A_n$

2 $x_e=0$ не подходит, это вытекает из физики процесса, для итогового распределения температурного поля в конце оптимального прцесса при двухинтервальном управлении (Рапопорт Э.Я. "Оптимальное управление системами с распределенными параметрами", стр. 397)

3 составил выражение из суммы по модулю от однородных уравнений (привел к виду f(x)=0), что входят в систему, это функционал и минимизировал в матлабе по 4-ем неизвестным параметрам, но нулю он небыл равен, но близок, скорее всего глобальный минимум небыл найден