Обратная блочная матрица

[d.dragon.n76]

Есть матрица $A=\left(\begin{matrix}A_{11}&&\\&A_{22}&\\&&A_{33}\\&\dots&&\\\end{matrix}\right)$, где $A_{ii}$ квадратные матрицы, в общем случае с разными размерами. Существует ли связь между $A_{ii}^{-1}$ и $A^{-1}$?

Я прав $\left(\begin{matrix}A_{11}&&\\&A_{22}&\\&&A_{33}\\&\dots&&\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A_{11}^{-1}&&\\&A_{22}^{-1}&\\&&A_{33}^{-1}\\&\dots&&\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}E&&\\&E&\\&&E\\&\dots&&\\\end{matrix}\right)$?

[venco]

Так и есть.

[AD]

Это правда, так как блочные матрицы имеют простой "геометрический" смысл: пространство разбито в прямую сумму подпространств - и на каждом "слагаемом" свой оператор, и действуют эти операторы совершенно независимо на непересекающиеся группы базисных векторов.

Ну то есть $A_{11}$ как-то перемешивает первые $n_1$ векторов, $A_{22}$ как-то перемешивает следующие $n_2$ векторов, и т.д. Чтобы обратить такое преобразование, нужно перемешать все вектора обратно.

Думаю, это рассуждение формализуемо Хотя это настолько очевидно, что можно просто взять и перемножить и проверить, немножко посоображав, как вообще перемножаются матрицы.