Геометрическая прогрессия с треугольником

[danil199412]

Могут ли длины сторон прямоугольного треугольника образовывать геометрическую прогрессию? Если могут то найдите величины углов этого треугольника.
Я не знаю как её решить, направьте пожалуста!=)

[p51x]

Предположим, что длины сторон образуют геом. прогрессию с знаменателем $q$. Обозначим длину наименьшей стороны через $a$, тогда длины остальных сторон равны.... Т.к. треугольник прямоугольный, то для него справедлива теорема Пифагора.... Получили систему из двух уравнений для двух неизвестных. Если она имеет решение, то... Если нет...

[gris]

Пришло на ум такое праздное рассуждение.
Если стороны образуют ГП, то гипотенуза стоит с краю. Тогда отношения соседних членов будут равны косинусу и тангенсу одного из острых углов и равны знаменателю прогрессии, то есть между собой.
Косинус и тангенс имеют ровно одну точку пересечения на острых углах, а именно на том, который и нужен нам. Найти - дело техники.

[Yu_K]

Совсем не дали человеку подумать.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=1%3Dq%5E4-q%5E2

В качестве компенсации можно предложить найти все прямоугольные треугольники, составленные из сторон - членов арифметической прогрессии.

[danil199412]

Попробовал решить как сказано у вас p51x, и получил что $b=b$ что это значит?

[p51x]

Откуда там взялось $b$?

[Профессор Снэйп]

$1 + q^2 = q^4$, $q = ?$

[danil199412]

все равно не понимаю...почему стоит в формуле 1 и $q$, можите обьяснить, с прогрессией у меня провал=(

[ИСН]

Что такое геометрическая прогрессия? Если три числа составляют прогрессию, что это значит? Как проверить? Например, 1, 2 и 3 - составляют прогрессию или нет?
(Я ерундой занимаюсь, наверное - можете на всё это наплевать, так, как-нибудь... сдать одно, другое, получить диплом. Нормально. Whatever.)

[gris]

Будем считать, что прогрессия возрастающая. Тогда стороны располагаются в таком порядке: меньший катет, больший катет, гипотенуза.
Пусть меньший катет равен $a$, а знаменатель прогрессии $q$.
Тогда второй член прогрессии будет $aq$, а третий $aq\cdot q = aq^2$
То есть два катета $a$ и $aq$ и гипотенуза $aq^2$
По теореме Пифагора сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$(aq^2)^2=a^2+(aq)^2$. Сокращаем на $a^2$ и переносим всё влево. Получаем биквадратное уравнение.

$q^4-q^2-1=0$

Осаётся заметить, что $q$ равно отношению меньшего катета к большему, то есть тангенсу меньшего угла треугольника.

Вроде бы деликатные намёки уже были озвучены.

[ИСН]

(Оффтоп)

Деликатные намёки, по-моему, не достигли на сей раз должной настойчивости. Впрочем, какая разница. Nevermind.