Линейные уравнения

[Sasha2]

Вот есть такая теорема:
Теорема: Две системы линейных уравнений будут эквивалентными, если одна из них получается из другой путем конечного числа элементарных преобразований.

Элементарные преобразования
1) Меняние местами двух уравнений
2) Прибавление к одному из уравнений системы другого, умноженного на некоторое число.

Вот интересно, а такая теорема будет верна.

Теорема: Если две системы линейных уравнений эквивалентны, то одна из них может быть получена из другой путем кончечного числа элементарных преобразований.

Грубо говоря, верна ли обратная теорема?

[ven8469]

А что такое по вашему эквивалентность уравнений?

-- Вт фев 23, 2010 16:17:52 --

Меня учили, что эквивалентными называются системы если одна из другой получена конечным числом элементарных преобразований. Можно доказать, что это действительно будет отношением эквивалентности.

[meduza]

Ну это ж очевидно, если первая система экивалентна второй, то и вторая эквивалентна первой, а значит могут быть поулчены друг из друга путем конечного числа элементарных преобразований.

(Оффтоп)

Эквивалентность ($\iff$) -- она по определению "в обе стороны".

[gris]

Если у Вас первое утверждение это определение эквивалентности, то да, обратная теорема верна, ибо меняние и прибавление с умножением на число обратимы. То есть Ваша эквивалентность действительно является отношением эквивалентности (C ven8469).

Но есть понятие равносильности систем. Это когда множества решений совпадают. Равносильные системы могут не быть эквивалентными Вашем понимании. Например, если содержат разное число уравнений.

Если к эквивалентным преобразованиям добавить добавление в систему и удаление из него уравнения $0=0$, то всё будет нормально. (тут ещё несовместные системы... равносильны они или нет?)

[Sasha2]

Ну это и имеется в виду. В учебнике Кострикина так прямо и говорится, что две системы эквивалентны, если они
1) Либо обе несовместны
2) Либо обе совместны и обладают одними и теми же решениями.

Вопрос, наверно, был бы не так труден, если бы мы ограничились рассмотрением мтмтем одних и тех же размеров.
Ну а если вот они содержат разное ччисло уравнений и равносильны, то, наверно какие-то уравнения являются следствиями других.

Меня даже интересует вопрос вот такого плана. По всей видимости, углубившись в дебри линейной алгебры, на этот вопрос можно получить ответ. Интересует же меня следующее: (как Вы заметили первая теорема она встречается сразу при изучении алгебры - это азы и доказывается она элементарно) можно ли также элементарно доказать и обратную теорему, или же без развитого аппарата линейной алгебры тут уже не обойтись?

[gris]

Если подходить к Вашемк вопросу строго формально, то можно и другие узреть тонкости.
Например, Прибавление к одному из уравнений системы другого, умноженного на некоторое число. То есть у Вас нельзя просто умножить произвольное уравнение на число, отличное от нуля. А ведь это явно элементарное преобразование

[AD]

$$\begin{cases}x=1\cr x=2\cr y+z=0\end{cases}\qquad\stackrel{?}{\iff}\qquad\begin{cases}x=1\cr x=2\cr y-z=0\end{cases}$$

[gris]

как приятно воспользоваться шаблоном

$$\begin{cases}x=1\cr y=2\end{cases}\qquad\stackrel{?}{\iff}\qquad\begin{cases}2x=2\cr y=2\end{cases}$$