ТФКП. Вычисление интеграла от действительного переменного

[rar]

Найти

$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{x^2}{x^4+1}dx$$

Ответ в задачнике: $\pi/\sqrt{2}$


У меня другой ответ получился. Видимо, я что-то делаю неправильно. Помогите разобраться.

Моё решение:

Корни уравнения $z^4+1=0$ есть:

$z_1=2/\sqrt{2}+2/\sqrt{2}i$
$z_2=-2/\sqrt{2}-2/\sqrt{2}i$
$z_3=-2/\sqrt{2}+2/\sqrt{2}i$
$z_4=2/\sqrt{2}-2/\sqrt{2}i$

Но только точки $z_1$ и $z_3$ лежат в верхней полуплоскости и являются полюсами функции первого порядка. От них и будем находить вычеты.

$$res_{2/\sqrt{2}+2/\sqrt{2}i}f(z)=\lim\limits_{z \to 2/\sqrt{2}+2/\sqrt{2}i}[z-(2/\sqrt{2}+2/\sqrt{2}i)]\frac{z^2}{[z-(2/\sqrt{2}+2/\sqrt{2}i)][z-(-2/\sqrt{2}-2/\sqrt{2}i)][z-(-2/\sqrt{2}+2/\sqrt{2}i)][z-(2/\sqrt{2}-2/\sqrt{2}i)]}=$$

$$=-i/(2\sqrt{2})$$

$$res_{-2/\sqrt{2}+2/\sqrt{2}i}f(z)=\lim\limits_{z \to -2/\sqrt{2}+2/\sqrt{2}i}[z-(-2/\sqrt{2}+2/\sqrt{2}i)]\frac{z^2}{[z-(2/\sqrt{2}+2/\sqrt{2}i)][z-(-2/\sqrt{2}-2/\sqrt{2}i)][z-(-2/\sqrt{2}+2/\sqrt{2}i)][z-(2/\sqrt{2}-2/\sqrt{2}i)]}=$$

$$=-\sqrt{2}/8-\sqrt{2}/8i$$

$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{x^2}{x^4+1}dx=2\pi i\sum\limits_{k = 0}^{2}res_{a_k}f(z)=2\pi i[-i/(2\sqrt{2})+(-\sqrt{2}/8-\sqrt{2}/8i)]$$

Ответы явно не совпадают...

[ИСН]

В нашей традиции принято иррациональность вытаскивать наверх, в числитель. А тут наоборот. Отсюда все Ваши проблемы, в том числе неправильные корни.

[rar]

Вы хотите сказать, что изначально корни уравнения найдены неправильно?

[ИСН]

Возможно; собственно, я не читал дальше первого $2/\sqrt 2$. Так нельзя. Вы точно имели в виду то, что написано? Два разделить на корень из двух?

[rar]

Ошибся, когда переписывал из черновика. Наоборот должно быть. И так везде. А сами вычисления, вроде, я правильно делал. Не понял в чем ошибка, то ли в вычислениях, то ли в методе...

[ИСН]

(Оффтоп)

rar в сообщении #291377 писал(а):

Наоборот должно быть. И так везде.

В принципе, ответ на многие российские проблемы. Да.

Ну значит, в вычислениях где-то.

[RIP]

Первый вычет неправильно посчитан. Вы, кстати, как-то нерационально вычеты считаете. Поскольку полюсы первого порядка, то вычеты удобно считать по формуле $\mathop{\mathrm{Res}}_{z=z_0}\frac{f(z)}{g(z)}=\frac{f(z_0)}{g'(z_0)}$. В данном случае это упрощается до $\frac1{4z_\nu}=\overline z_\nu/4$.

[Полосин]

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{x^2dx}{x^4+1}=2\int\limits_0^{+\infty}\dfrac{dx}{x^2+x^{-2}}=2\int\limits_0^1\dfrac{d(x-1/x)}{(x-1/x)^2+2}=\dfrac{\pi}{\sqrt2}.$

[rar]

Спасибо всем. Разобрался. Ошибка в вычислениях была.