Доказательство или нет

[Sasha2]

Допустим нам нужно доказать, что направления вращения в двух симметричных относительно некоторой прямой углах противоположно.

(Под этим понимаем следующее: Будем считать, что направление вращения угла $\angle AOB$ положительно, если поворот вокруг точки $O$, при котором сторона $OA$ остается внутри угла $\angle AOB$ и который переводит ее в сторону $OB$ осуществляется против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае)


Доказательство:
1) Строим $OA$.
2) Ложим рядом часы и строим $OB$ так, чтобы угол $\angle AOB$ имел положительное направление вращения.
3) Строим угол $\angle A'O'B'$, симметричный углу $\angle AOB$ относительно произвольно выбранной прямой.
4) Опять ложим часы около угла $\angle A'O'B'$ и непосредственно видим, что направление вращения в этом угле отрицательно.

[meduza]

Sasha2 в сообщении #291141 писал(а):

если поворот вокруг точки

Наверняка вы имели ввиду кратчайший поворот.

Sasha2 в сообщении #291141 писал(а):

и непосредственно видим

Чертёж никогда ничего не доказывает и его нельзя принимать в качестве доказательства.

По-моему тут всё просто, если ввести систему координат так, чтобы $Ox$ была прямой симметрии и рассматривать углы, составленные из векторов $\overrightarrow {OA}=(x_A,y_A)$ и $\overrightarrow {OB}=(x_B,y_B)$ Тогда $\overrightarrow {OA'}=(x_A,-y_A)$ и $\overrightarrow {OB'}=(x_B,-y_B)$. Нужно доказать, что $\overrightarrow {OA}\times \overrightarrow {OB}=-\overrightarrow {OA'}\times \overrightarrow {OB'}$, что тоже легко.

[Sasha2]

Все эти векторные произведения определяются сперва через эти элементарные понятия, а не наоборот.
Ну неужели это нельзя считать непосредственной проверкой?
Взял да посмотрел и увидел, что это действительно так, что тут некорректного?

[meduza]

Sasha2 в сообщении #291172 писал(а):

Все эти векторные произведения определяются сперва через эти элементарные понятия

Нет. Величина и направление векторного произведения задаются в определении. Выражение его через координаты тоже выводится без "элементарных понятий" (кстати, что вы под ними имеете ввиду, кроме симметрии относительно прямой?), так что применение вект. пр. тут вполне законно.

Sasha2 в сообщении #291172 писал(а):

Ну неужели это нельзя считать непосредственной проверкой?Взял да посмотрел и увидел, что это действительно так, что тут некорректного?

А вдруг вы чертёж неправильно нарисовали, или непарвильно посмотрели, или неправильно восприняли или...? У чертежа только вспомогательная цель, все логические выкладки должны обходится без него. Тем более если вы доказывате весьма очевидные вещи -- тут строгость должна быть на высоте (в своём первом посте я тоже совершил несколько вольностей).

[gris]

Нарисуйте часы и отразите их относительно прямой (на плоскости). Вы увидите, что в отражении стрелки будут вращаться в другую сторону.

Интересно, что при отражении относительно прямой в трёхмерном пространстве ориентация реальных, трёхмерных, часов не изменится.

[ИСН]

В трёхмерном пространстве нет отражения относительно прямой. Есть поворот (при котором, да, часы не изменятся) и отражение в плоскости (при котором – наоборот).

[bot]

Почему? В евклидовом пространстве любой конечной размерности берём произвольное подпространство (или k-мерную плоскость, не обязательно гиперплоскость) и заменой знака у ортогональной составляющей получаем преобразование. Разве его не отражением называют?

[Sasha2]

To уважаемому meduza
В определении векторного произведения входит понятие правой тройки, которая тоже определяется через довольно таки нематематический объект (одно из определений, как расположение некторых вытянутых пальцев на правой руке). Тогда и тут можно подойти так, что мол а если Вы руки перепутаете или не те пальцы вытяните. (Это к Вашему замечанию насчет неправильно сделанного чертежа или непраильного обозрения этого чертежа).

Так и не понял, ну так можно это считать доказательством.
Или проще чтобы не париться взять и посчитать это аксиомой, тем более, что, как вот мне кажется (а я задаю этот вопрос неоднократно) все вроде понимают суть, но так я и не встретил нигде и никогда более менее четкого изложения этого вопроса на том уровне, чтобы его школльник мог воспринимать также просто, как и таблицу умножения.

И кстати, вот есть ли в математике что-дибо, где доказательство этого играет существенную роль, или же, получив результат, можно спокойно его использовать, будучи полностью уверенным, что незнание доказательства этого утверждения, никак не скажется на дальнейшем изучении математики.

[meduza]

Sasha2 в сообщении #291210 писал(а):

В определении векторного произведения входит понятие правой тройки, которая тоже определяется через довольно таки нематематический объект (одно из определений, как расположение некторых вытянутых пальцев на правой руке).

Правая тройка векторов определяется строго. Всякие пальцы, буравчкики -- это для запоминания. Ну если вы так не любите векторы, то можно найти и другие доказательства, но

Sasha2 в сообщении #291210 писал(а):

Так и не понял, ну так можно это считать доказательством.

Нет. Причину я уже объяснил, ещё в школе учат не ссылаться на чертёж в доказательствах.

Sasha2 в сообщении #291210 писал(а):

но так я и не встретил нигде и никогда более менее четкого изложения этого вопроса

Какого вопроса?

[ИСН]

bot, прикладные люди обычно таки называют это поворотом, но - да - можно и отражением, в каковом случае тот факт, что в 3D у него det=1, проходит по ведомству "интересного".
Sasha2, проблемы правой/левой руки могли бы возникнуть разве что при встрече с иной цивилизацией, у которой противоположная конвенция. Ещё подумайте про числа i и -i: они всем одинаковы, только одно из них первым попалось на глаза Эйлеру. А то могло бы быть всё наоборот!

[gris]

В школе проходят так называемое преобразование симметрии относительно точки, прямой и плоскости. Первые два только на плоскости, а для пространства специально оговаривается в п. 155 учебника Погорелова "Так же, как и на плоскости, определяются понятия симметрии относительно точки и прямой". В некоторых курсах это называют отражением.

[ewert]

ИСН в сообщении #291218 писал(а):

bot, прикладные люди обычно таки называют это поворотом, но - да - можно и отражением,

Да просто по определению это называется именно отражением. Называть его поворотом вокруг оси -- да, можно, но неинформативно: уж больно это частный случай поворота.